Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série infinita
converge ou diverge.
Informações dadas que vamos usar:
- Cada termo da série é positivo.
- O
-ésimo termo, conforme escrito, tem produto de muitos fatores no numerador e no denominador; precisamos expressá-lo de forma geral para trabalhar com ele.
Não vou resolver ainda: só identifiquei o que é pedido e os dados relevantes.
Passo 2
Vamos escrever o
-ésimo termo de forma indexada e clara.
Observando os fatores:
- Numerador:
. Esses termos formam uma progressão aritmética com diferença . O -ésimo termo dessa sequência é .
Se o último termo é, temos . Logo o numerador é o produto dos fatores para . - Denominador:
. Esses termos formam uma progressão aritmética com diferença . O -ésimo termo é .
Se o último termo é, temos . Logo o denominador é o produto dos fatores para .
Portanto, o
-ésimo termo pode ser escrito como
Verificação rápida para
:
e
, bate com o enunciado.
Passo 3
Escolha do método. Como os termos são positivos e o termo geral é dado por um produto, o teste da razão (ratio test) é uma escolha natural: ele trabalha bem com produtos e com termos positivos. Vou aplicar o teste da razão, que diz (explicando com calma):
Sejam
. Defina
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
para todo
, então o teste é aplicável.
Passo 4
Calcular a razão
. Usando a expressão do passo 2:
Ao dividir
por
muitos fatores se cancelam; sobram apenas os fatores com
e
. Assim
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
Podemos deixar assim ou expandir polinomialmente; para o limite para
basta comparar os termos de maior ordem:
Passo 6
Calcular o limite da razão quando
. Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Portanto o limite
.
Passo 7
Conclusão pelo teste da razão. Como
, o teste da razão garante que a série
converge absolutamente. Como os termos são todos positivos, isso significa simplesmente que a série converge.
Resposta
Converge (convergência absoluta).