Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(d) \frac{2}{1}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{1 \cdot 5 \cdot 9}+\cdots+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(6 n-7)(6 n-4)}{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots(8 n-11)(8 n-7)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série infinita
\frac{2}{1}+\frac{2\cdot5\cdot8}{1\cdot5\cdot9}+\cdots+\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(6n-7)(6n-4)}{1\cdot5\cdot9\cdots(8n-11)(8n-7)}+\cdots
converge ou diverge.
Informações dadas que vamos usar:
  • Cada termo da série é positivo.
  • O n-ésimo termo, conforme escrito, tem produto de muitos fatores no numerador e no denominador; precisamos expressá-lo de forma geral para trabalhar com ele.
Não vou resolver ainda: só identifiquei o que é pedido e os dados relevantes.

Passo 2

Vamos escrever o n-ésimo termo de forma indexada e clara.
Observando os fatores:
  • Numerador: 2,5,8,\dots,(6n-7),(6n-4). Esses termos formam uma progressão aritmética com diferença 3. O j-ésimo termo dessa sequência é 3j-1.
    Se o último termo é 6n-4, temos 3m-1=6n-4\Rightarrow m=2n-1. Logo o numerador é o produto dos fatores 3m-1 para m=1,\dots,2n-1.
  • Denominador: 1,5,9,\dots,(8n-11),(8n-7). Esses termos formam uma progressão aritmética com diferença 4. O k-ésimo termo é 4k-3.
    Se o último termo é 8n-7, temos 4t-3=8n-7\Rightarrow t=2n-1. Logo o denominador é o produto dos fatores 4t-3 para t=1,\dots,2n-1.
Portanto, o n-ésimo termo pode ser escrito como
a_n=\prod_{m=1}^{2n-1}\frac{3m-1}{4m-3}.
Verificação rápida para n=1: 2n-1=1 e a_1=(3\cdot1-1)/(4\cdot1-3)=2/1, bate com o enunciado.

Passo 3

Escolha do método. Como os termos são positivos e o termo geral é dado por um produto, o teste da razão (ratio test) é uma escolha natural: ele trabalha bem com produtos e com termos positivos. Vou aplicar o teste da razão, que diz (explicando com calma):
Sejam a_n>0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui a_n>0 para todo n, então o teste é aplicável.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a expressão do passo 2:
a_{n+1}=\prod_{m=1}^{2(n+1)-1}\frac{3m-1}{4m-3}=\prod_{m=1}^{2n+1}\frac{3m-1}{4m-3}.
Ao dividir a_{n+1} por a_n=\prod_{m=1}^{2n-1}\frac{3m-1}{4m-3} muitos fatores se cancelam; sobram apenas os fatores com m=2n e m=2n+1. Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\prod_{m=2n}^{2n+1}\frac{3m-1}{4m-3} =\frac{3(2n)-1}{4(2n)-3}\cdot\frac{3(2n+1)-1}{4(2n+1)-3}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{6n-1}{8n-3}\cdot\frac{6n+2}{8n+1}.
Podemos deixar assim ou expandir polinomialmente; para o limite para n\to\infty basta comparar os termos de maior ordem:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(6n-1)(6n+2)}{(8n-3)(8n+1)}.

Passo 6

Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
\lim_{n\to\infty}\frac{(6n-1)(6n+2)}{(8n-3)(8n+1)} =\lim_{n\to\infty}\frac{36n^2+\text{(termos de ordem }n)}{64n^2+\text{(termos de ordem }n)} =\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.
Portanto o limite L=\dfrac{9}{16}.

Passo 7

Conclusão pelo teste da razão. Como L=\dfrac{9}{16}<1, o teste da razão garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge absolutamente. Como os termos são todos positivos, isso significa simplesmente que a série converge.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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