Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(g)
(g)
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que ele dá. O enunciado apresenta a série
As perguntas são: a série converge ou diverge? (Se convergir, é útil também saber para que valor converge.)
Informações relevantes dadas:
- O termo geral, escrito com índice
começando em , é
- Aqui
é um inteiro positivo ( ), e denota o fatorial de : por definição , , , , etc.
Passo 2
Primeiro passo técnico simples: reindexar a soma para uma forma mais padrão. Defina
. Então quando
temos
, e quando
temos
. O termo geral em função de
fica
e a série torna-se
(Reindexar só muda o rótulo do somatório, não o valor.)
Passo 3
Agora recordemos um fato fundamental (é uma definição conveniente): a função exponencial
tem a série de potências dada por
para todo
. Aqui
é uma variável real e
é o índice da soma. Essa série converge absolutamente para qualquer
— motivo: o termo
cresce muito mais rápido que
e pode ser mostrado, por exemplo, pelo teste da razão.
Aplicando essa igualdade com
obtemos
Passo 4
Comparando com a série reindexada do problema, vemos que
Portanto a série converge e sua soma é exatamente
.
Passo 5
Para te deixar seguro sobre a convergência (caso não queira usar diretamente a série da exponencial), mostro também o teste da razão aplicado aos termos
.
Calcule a razão entre termos consecutivos:
Ao passar
obtemos
Pelo teste da razão: se esse limite é menor que
(aqui é
), a série
converge absolutamente. Isso confirma a convergência e garante que podemos somá-la termo a termo sem problemas.
Passo 6
Resumo didático rápido sobre por que isso é intuitivo:
(fatorial) cresce muito mais rápido que
. Mesmo que
cresça exponencialmente, o fatorial é “super-exponencial” no sentido que o quociente
vai a zero muito rapidamente; por isso a soma dos termos dá um número finito (
).
Resposta
Converge (absolutamente) e a soma é
.