Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(g) 1+\frac{2}{1!}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que ele dá. O enunciado apresenta a série
1+\frac{2}{1!}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots
As perguntas são: a série converge ou diverge? (Se convergir, é útil também saber para que valor converge.)
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral, escrito com índice n começando em n=1, é
a_n=\frac{2^{\,n-1}}{(n-1)!}.
  • Aqui n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots), e k! denota o fatorial de k: por definição 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, etc.

Passo 2

Primeiro passo técnico simples: reindexar a soma para uma forma mais padrão. Defina k=n-1. Então quando n=1 temos k=0, e quando n\to\infty temos k\to\infty. O termo geral em função de k fica
a_{k}=\frac{2^{k}}{k!},
e a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{\,n-1}}{(n-1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}.
(Reindexar só muda o rótulo do somatório, não o valor.)

Passo 3

Agora recordemos um fato fundamental (é uma definição conveniente): a função exponencial e^{x} tem a série de potências dada por
e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!},
para todo x\in\mathbb{R}. Aqui x é uma variável real e k é o índice da soma. Essa série converge absolutamente para qualquer x — motivo: o termo k! cresce muito mais rápido que x^{k} e pode ser mostrado, por exemplo, pelo teste da razão.
Aplicando essa igualdade com x=2 obtemos
e^{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}.

Passo 4

Comparando com a série reindexada do problema, vemos que
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}=e^{2}.
Portanto a série converge e sua soma é exatamente \,e^{2}.

Passo 5

Para te deixar seguro sobre a convergência (caso não queira usar diretamente a série da exponencial), mostro também o teste da razão aplicado aos termos \,b_k=\dfrac{2^{k}}{k!}.
Calcule a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{\dfrac{2^{k+1}}{(k+1)!}}{\dfrac{2^{k}}{k!}}=\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{2^{k}}=\frac{2}{k+1}.
Ao passar k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{b_{k+1}}{b_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{2}{k+1}=0.
Pelo teste da razão: se esse limite é menor que 1 (aqui é 0), a série \sum b_k converge absolutamente. Isso confirma a convergência e garante que podemos somá-la termo a termo sem problemas.

Passo 6

Resumo didático rápido sobre por que isso é intuitivo: k! (fatorial) cresce muito mais rápido que 2^{k}. Mesmo que 2^{k} cresça exponencialmente, o fatorial é “super-exponencial” no sentido que o quociente \dfrac{2^{k}}{k!} vai a zero muito rapidamente; por isso a soma dos termos dá um número finito ( e^{2}).

Resposta

Converge (absolutamente) e a soma é e^{2}.

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