Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas que vamos usar (extraídas do enunciado):
- Os fatores do numerador formam a progressão aritmética
, que pode ser escrita como . - Os fatores do denominador formam a progressão aritmética
, que pode ser escrita como . - No termo geral mostrado, o último fator do numerador é
e o último do denominador é . - A série é de termos positivos, portanto podemos usar testes de convergência para séries de termos não negativos (por ex. o teste da razão).
Passo 2
Vamos escrever o termo geral da série de forma clara. Observando a contagem dos fatores:
- Para
temos o primeiro termo (apenas um fator). - Para
temos o segundo termo (três fatores).
Observa-se que o-ésimo termo possui fatores, e esses fatores correspondem a índices . Assim, definimos o -ésimo termo por
Checagem rápida: para
o produto é só
e dá
; para
o produto vai
e dá
. Perfeito.
Passo 3
Aplicar o teste da razão. Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
Agora simplificando cada fator:
Portanto
Passo 4
Calcular o limite da razão quando
. Expandindo numerador e denominador:
Assim
Tomando limite:
Passo 5
Usar o teste da razão (enunciado e aplicação): o teste da razão diz que, para uma série de termos positivos
, se
existir e
, então a série converge absolutamente (logo converge). Aqui encontramos
, que é menor que
. Portanto a série converge.
Comentário didático curto: intuitivamente, a razão entre termos consecutivos tende a
, então para
grande os termos se comportam aproximadamente como uma progressão geométrica com razão
; essa geometria garante soma finita.
Resposta
A série converge.