Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\quad \frac{2}{1}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{1 \cdot 5 \cdot 9}+\cdots+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(6 n-7)(6 n-4)}{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots(8 n-11)(8 n-7)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{2}{1}+\frac{2\cdot5\cdot8}{1\cdot5\cdot9}+\cdots+\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(6n-7)(6n-4)}{1\cdot5\cdot9\cdots(8n-11)(8n-7)}+\cdots
converge ou diverge.
Informações dadas que vamos usar (extraídas do enunciado):
  • Os fatores do numerador formam a progressão aritmética 2,5,8,11,\ldots, que pode ser escrita como 2+3k.
  • Os fatores do denominador formam a progressão aritmética 1,5,9,13,\ldots, que pode ser escrita como 1+4k.
  • No termo geral mostrado, o último fator do numerador é 6n-4 e o último do denominador é 8n-7.
  • A série é de termos positivos, portanto podemos usar testes de convergência para séries de termos não negativos (por ex. o teste da razão).

Passo 2

Vamos escrever o termo geral da série de forma clara. Observando a contagem dos fatores:
  • Para n=1 temos o primeiro termo \dfrac{2}{1} (apenas um fator).
  • Para n=2 temos o segundo termo \dfrac{2\cdot5\cdot8}{1\cdot5\cdot9} (três fatores).
    Observa-se que o n-ésimo termo possui 2n-1 fatores, e esses fatores correspondem a índices k=0,1,\dots,2n-2. Assim, definimos o n-ésimo termo a_n por
a_n=\prod_{k=0}^{2n-2}\frac{2+3k}{1+4k}.
Checagem rápida: para n=1 o produto é só k=0 e dá 2/1; para n=2 o produto vai k=0,1,2 e dá 2\cdot5\cdot8/(1\cdot5\cdot9). Perfeito.

Passo 3

Aplicar o teste da razão. Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \prod_{k=2n-1}^{2n}\frac{2+3k}{1+4k} = \frac{2+3(2n-1)}{1+4(2n-1)}\cdot\frac{2+3(2n)}{1+4(2n)}.
Agora simplificando cada fator:
\frac{2+3(2n-1)}{1+4(2n-1)}=\frac{6n-1}{8n-3}, \qquad \frac{2+3(2n)}{1+4(2n)}=\frac{6n+2}{8n+1}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(6n-1)(6n+2)}{(8n-3)(8n+1)}.

Passo 4

Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Expandindo numerador e denominador:
(6n-1)(6n+2)=36n^2+6n-2, \qquad (8n-3)(8n+1)=64n^2-16n-3.
Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{36n^2+6n-2}{64n^2-16n-3}.
Tomando limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.

Passo 5

Usar o teste da razão (enunciado e aplicação): o teste da razão diz que, para uma série de termos positivos \sum a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existir e L<1, então a série converge absolutamente (logo converge). Aqui encontramos L=\dfrac{9}{16}, que é menor que 1. Portanto a série converge.
Comentário didático curto: intuitivamente, a razão entre termos consecutivos tende a 9/16, então para n grande os termos se comportam aproximadamente como uma progressão geométrica com razão 9/16; essa geometria garante soma finita.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados