Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(i) \quad \frac{1}{5^{3 / 2}}+\frac{1}{6^{3 / 2}}+\cdots+\frac{1}{(4+n)^{3 / 2}}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série cujo termo geral é \dfrac{1}{(4+n)^{3/2}} começando pelos termos mostrados:
\frac{1}{5^{3/2}}+\frac{1}{6^{3/2}}+\cdots+\frac{1}{(4+n)^{3/2}}+\cdots
Pergunta: a série acima converge ou diverge?
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • Os termos são todos positivos.
  • O expoente no denominador é 3/2.

Passo 2

Primeira simplificação útil: reindexar a série para ligar com séries conhecidas. Se definirmos k=4+n, quando n=1 temos k=5, e quando n\to\infty temos k\to\infty. Assim a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4+n)^{3/2}}=\sum_{k=5}^{\infty}\frac{1}{k^{3/2}}.
Ou seja, é simplesmente a cauda (os termos a partir de k=5) da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3/2}}.

Passo 3

Vamos estudar a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3/2}}. Existe um resultado padrão (teste da série p ou “p-series”): a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=\tfrac{3}{2}, que é maior que 1, portanto a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{3/2}} converge.
Explicando por que esse teste funciona (uma explicação simples via integral): considere a função f(x)=x^{-p} com p>1, positiva e decrescente para x\ge1. Pelo teste da integral,
\text{se }\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx<\infty\text{ então }\sum_{k=1}^{\infty}k^{-p}\text{ converge.}ã
Calculemos a integral para p=\tfrac{3}{2}:
\int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx=\left[-2x^{-1/2}\right]_{1}^{\infty}=0-(-2)=2,
que é finita. Logo \sum_{k=1}^{\infty}k^{-3/2} converge.

Passo 4

Como \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{3/2}} converge, qualquer cauda dessa série (isto é, a soma dos termos a partir de um certo índice finito) também converge. Em particular,
\sum_{k=5}^{\infty}\frac{1}{k^{3/2}}
converge.

Passo 5

Alternativa (teste da comparação) — para fixar a intuição: para todo n\ge1 vale n+4\ge n, logo
(4+n)^{3/2}\ge n^{3/2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{(4+n)^{3/2}}\le\frac{1}{n^{3/2}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/2}} converge (pelo teste p com p=\tfrac{3}{2}), pela comparação direta a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(4+n)^{3/2}} também converge. Isso confirma o resultado do passo anterior. Observação: por os termos serem positivos, falar em “convergência” já implica convergência absoluta.

Passo 6

Resumo/interpretacão final didática: a série dada é uma cauda de uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, ou, equivalentemente, seus termos são menores termo a termo que os termos de uma série p convergente; portanto a série original converge.

Resposta

A série converge.

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