Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado dá a série cujo termo geral é
começando pelos termos mostrados:
Pergunta: a série acima converge ou diverge?
Informações úteis que já temos do enunciado:
Informações úteis que já temos do enunciado:
- Os termos são todos positivos.
- O expoente no denominador é
.
Passo 2
Primeira simplificação útil: reindexar a série para ligar com séries conhecidas. Se definirmos
, quando
temos
, e quando
temos
. Assim a série pode ser escrita como
Ou seja, é simplesmente a cauda (os termos a partir de
) da série
Passo 3
Vamos estudar a série
. Existe um resultado padrão (teste da série
ou “p-series”): a série
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, que é maior que
, portanto a série
converge.
Explicando por que esse teste funciona (uma explicação simples via integral): considere a função
com
, positiva e decrescente para
. Pelo teste da integral,
Calculemos a integral para
:
que é finita. Logo
converge.
Passo 4
Como
converge, qualquer cauda dessa série (isto é, a soma dos termos a partir de um certo índice finito) também converge. Em particular,
converge.
Passo 5
Alternativa (teste da comparação) — para fixar a intuição: para todo
vale
, logo
Como
converge (pelo teste
com
), pela comparação direta a série
também converge. Isso confirma o resultado do passo anterior. Observação: por os termos serem positivos, falar em “convergência” já implica convergência absoluta.
Passo 6
Resumo/interpretacão final didática: a série dada é uma cauda de uma série
com
, ou, equivalentemente, seus termos são menores termo a termo que os termos de uma série
convergente; portanto a série original converge.
Resposta
A série converge.