Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(h) \frac{1}{1!}+\frac{1 \cdot 11}{3!}+\cdots+\frac{1 \cdot 11 \cdot 21 \cdots(10 n-9)}{(2 n-1)!}+\cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série cujos termos são, em ordem:
\frac{1}{1!},\quad \frac{1\cdot 11}{3!},\quad \frac{1\cdot 11\cdot 21}{5!},\quad \dots,\quad \frac{1\cdot 11\cdot 21\cdots(10n-9)}{(2n-1)!},\quad \dots
Vou chamar o n-ésimo termo de \,a_n. Assim, para n\ge 1,
a_n=\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\bigl(10k-9\bigr)}{(2n-1)!}.
A pergunta é: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?

Passo 2

Escolha do método: a presença de produtos no numerador e de fatoriais no denominador sugere usar o teste da razão (ratio test), porque esse teste compara exatamente o crescimento relativo entre a_{n+1} e a_n. Vou enunciar o teste da razão (de forma didática):
O teste da razão diz que, se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe, então
  • se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui os termos a_n são positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Escrevendo a_{n+1} e cancelando o produto comum, obtemos:
a_{n+1}=\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}\bigl(10k-9\bigr)}{(2(n+1)-1)!} =\frac{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(10k-9)\bigr)\cdot(10(n+1)-9)}{(2n+1)!}.
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\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(10k-9)\bigr)\cdot(10(n+1)-9)}{(2n+1)!\\ } \cdot \frac{(2n-1)!}{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(10k-9)\bigr)} =\frac{10(n+1)-9}{(2n+1)(2n)}.
Simplificando 10(n+1)-9=10n+1, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{10n+1}{2n(2n+1)}.

Passo 4

Estudar o limite da razão quando n\to\infty. Podemos dividir numerador e denominador por n:
\frac{10n+1}{2n(2n+1)}=\frac{10+\tfrac{1}{n}}{4n+2}=\frac{10+\tfrac{1}{n}}{n(4+\tfrac{2}{n})}.
Fica claro que, quando n\to\infty, o denominador cresce como n enquanto o numerador tende a 10. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.
Mais direto: proporcionalmente \dfrac{10n}{4n^2}=\dfrac{5}{2n}\to 0.

Passo 5

Aplicar o teste da razão: como o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1,
o teste da razão garante que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente. Como todos os termos a_n são positivos, isso implica que a série converge.
Comentário intuitivo (útil para prova): o fato de \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to 0 significa que, a partir de algum N, os termos decrescem geometricamente (por exemplo, para n grande tem-se \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le \tfrac12), então a cauda da série é dominada por uma série geométrica que converge — outro jeito de ver a convergência.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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