Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado nos dá a série cujos termos são, em ordem:
Vou chamar o
-ésimo termo de
. Assim, para
,
A pergunta é: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Escolha do método: a presença de produtos no numerador e de fatoriais no denominador sugere usar o teste da razão (ratio test), porque esse teste compara exatamente o crescimento relativo entre
e
. Vou enunciar o teste da razão (de forma didática):
O teste da razão diz que, se
existe, então
- se
a série converge absolutamente; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Aqui os termos
são positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência.
Passo 3
Calcular explicitamente a razão
. Escrevendo
e cancelando o produto comum, obtemos:
Logo
Simplificando
, temos
Passo 4
Estudar o limite da razão quando
. Podemos dividir numerador e denominador por
:
Fica claro que, quando
, o denominador cresce como
enquanto o numerador tende a
. Portanto
Mais direto: proporcionalmente
.
Passo 5
Aplicar o teste da razão: como o limite da razão é
o teste da razão garante que a série
converge absolutamente. Como todos os termos
são positivos, isso implica que a série converge.
Comentário intuitivo (útil para prova): o fato de
significa que, a partir de algum
, os termos decrescem geometricamente (por exemplo, para
grande tem-se
), então a cauda da série é dominada por uma série geométrica que converge — outro jeito de ver a convergência.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).