Exercício 14 (Paralelepípedo) Considere-se um paralelepípedo A B C D E F G H. Sejam I, J os respectivos pontos médios dos segmentos [AD], [CD].
14.1 Mostrar que as retas (H I) e ( E A ) são concorrentes; denote-se por X seu ponto de interseção.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um paralelepípedo ABCD,EFGH. Definimos I como o ponto médio de [AD]. A tarefa é mostrar que as retas (HI) e (EA) se intersectam em um ponto X. Para isso, vamos modelar tudo em geometria vetorial, escolhendo um sistema de coordenadas conveniente e escrevendo equações paramétricas das retas.

Passo 2

Escolhemos A como origem do nosso sistema e definimos os vetores de aresta
b = AB, d = AD, e = AE
Então os vértices relevantes têm coordenadas vetoriais
H = d + e, I = tfrac12,d, E = e, A = 0

Passo 3

Escrevemos equações paramétricas das retas:
HI:;X = I + t,(H - I)
e
EA:;X = E + s,(A - E)
Substituindo as coordenadas:
HI:;X = tfrac12d + tl((d+e) - tfrac12dr) = tfrac12d + tl(tfrac12d+er),
EA:;X = e + sl(0-er) = (1 - s),e

Passo 4

Para encontrar a interseção igualamos as duas expressões de X:
tfrac12d + tl(tfrac12d+er) ;=;(1 - s),e
Analisando coeficientes em d e em e:
  • Em d: tfrac12 + tcdottfrac12 = 0 t=-1.
  • Em e: t = 1 - s com t=-1 1 - s=-1, logo s=2.
Como obtivemos valores reais para t e s, as retas se intersectam de fato. Denotamos esse ponto por X.

Resposta

As retas (HI) e (EA) são concorrentes, pois as equações paramétricas levam aos parâmetros t=-1 e s=2. Denotamos seu ponto de interseção por X.

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