Exercício 17 (Paralelepípedo) Considere-se um paralelepípedo A B C D E F G H.
17.2 Mostrar que os vetores A B, A G, A H são coplanares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num paralelepípedo ABCDEFGH, os vetores AB, AG e AH são coplanares. Vamos usar o critério de coplanaridade: três vetores em R^3 são coplanares se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Para escrever AG em função dos vetores das arestas, note que um caminho de A até G é Ato Cto G. Como
AC=AB+BC
e em paralelepípedo BC=AD, e ainda
CG=AE,
segue que
AG=AC+CG =l(AB+ADr)+AE =AB+AD+AE

Passo 3

Agora, para AH basta seguir o caminho Ato Dto H. Como
AD=AD e DH=AE,
temos
AH=AD+DH =AD+AE

Passo 4

Comparando as expressões de AG e AH, vemos que
AG =AB+underbracel(AD+AEr)=AH =AB+AH
Isso mostra que AG é combinação linear de AB e AH.

Resposta

Como AG=AB+AH, os três vetores são coplanares.

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