Exercício 1.14 Realizar o gráfico da seguinte equação:
(d) z=4-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
z = 4 - x^{2} - y^{2}.
O conteúdo aqui é classificação e esboço de superfícies quadráticas em \mathbb{R}^{3}. Vamos precisar reconhecer o tipo de superfície, encontrar vértice e direção principal, examinar traços nos planos coordenados e curvas de nível no plano xy.

Passo 2

Classificamos a superfície. A equação é do tipo
z = \text{constante} - x^{2} - y^{2},
isto é um paraboloide elíptico cujo eixo é paralelo ao eixo z. Como os coeficientes de x^{2} e y^{2} são negativos, o paraboloide abre para baixo.

Passo 3

Encontrar o vértice e os traços em planos coordenados.
  • Vértice: ocorre quando x=0 e y=0, logo z_{\text{vértice}} = 4é. O vértice é (0,0,4).
  • Traço no plano y=0:
z = 4 - x^{2},
que é uma parábola no plano xz, com vértice em (0,4) e abrindo para baixo.
  • Traço no plano x=0:
z = 4 - y^{2},
que é outra parábola no plano yz, também com vértice em (0,4) e abrindo para baixo.

Passo 4

Estudar as curvas de nível no plano xy. Para um valor fixo z = k (com k\le4), temos
4 - x^{2} - y^{2} = k \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = 4 - k.
Isso descreve círculos centrados em (0,0) de raio \sqrt{4-k}. Conforme k varia de -\infty a 4, o raio cresce de \infty até 0.

Passo 5

Esboço final:
  1. Marcar o vértice em (0,0,4).
  2. Desenhar as parábolas nos planos x=0 e y=0 abrindo para baixo.
  3. No plano xy, desenhar algumas curvas de nível: por exemplo, para z=0 o círculo x^{2}+y^{2}=4, para z=3 o círculo de raio 1, para z=4 o ponto.
  4. Ligar esses círculos suavemente, formando um “chapéu” invertido que se afina até o vértice.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (0,0,4) e que abre para baixo, com curvas de nível circulares x^{2}+y^{2}=4-z.

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