Exercício 1.14 Realizar o gráfico da seguinte equação:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
O conteúdo aqui é classificação e esboço de superfícies quadráticas em
. Vamos precisar reconhecer o tipo de superfície, encontrar vértice e direção principal, examinar traços nos planos coordenados e curvas de nível no plano
.
Passo 2
Classificamos a superfície. A equação é do tipo
isto é um paraboloide elíptico cujo eixo é paralelo ao eixo
. Como os coeficientes de
e
são negativos, o paraboloide abre para baixo.
Passo 3
Encontrar o vértice e os traços em planos coordenados.
- Vértice: ocorre quando
e , logo . O vértice é . - Traço no plano
:
que é uma parábola no plano
, com vértice em
e abrindo para baixo.
- Traço no plano
:
que é outra parábola no plano
, também com vértice em
e abrindo para baixo.
Passo 4
Estudar as curvas de nível no plano
. Para um valor fixo
(com
), temos
Isso descreve círculos centrados em
de raio
. Conforme
varia de
a
, o raio cresce de
até
.
Passo 5
Esboço final:
- Marcar o vértice em
. - Desenhar as parábolas nos planos
e abrindo para baixo. - No plano
, desenhar algumas curvas de nível: por exemplo, para o círculo , para o círculo de raio , para o ponto. - Ligar esses círculos suavemente, formando um “chapéu” invertido que se afina até o vértice.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
e que abre para baixo, com curvas de nível circulares
.