Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(a) x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 definida pela equação
x^{2}+y^{2}=1.
O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies quádricas: em particular, veremos que é um cilindro circular reto.

Passo 2

Observe que a equação
x^{2}+y^{2}=1
não envolve a coordenada z. Isso significa que, para todo valor de z, os pontos (x,y) que satisfazem a condição formam um círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 3

Como o círculo x^{2}+y^{2}=1 existe para cada z\in\mathbb{R}, a superfície resultante é obtida “extrudando” esse círculo ao longo do eixo z. Geometricamente, temos um cilindro circular reto de raio 1 e eixo paralelo ao eixo z.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 1 centrado no eixo z, estendendo-se infinitamente para z\to\pm\infty. O esboço consiste em círculos de raio 1 em planos z=\mathrm{constante}, todos alinhados verticalmente.

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