Exercício 1.14 Realizar o gráfico da seguinte equação:
(e) z=\sqrt{4-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da superfície z = \sqrt{4 - (x^2 + y^2)}
Isso envolve reconhecer domínios de definição, manipular a equação para identificar sua forma geométrica (esfera, hemisfério etc.) e, por fim, descrever como seria o traço desse objeto em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Precisamos garantir que o radicando seja não-negativo:
4 - (x^2 + y^2) \ge 0
Logo,
x^2 + y^2 \le 4.
Isto mostra que a projeção da superfície no plano xy é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
z^2 = 4 - x^2 - y^2
e, rearranjando,
x^2 + y^2 + z^2 = 4.
Esta é a equação de uma esfera de raio 2 centrada na origem. Como originalmente z é a raiz quadrada, temos também a condição z \ge 0.

Passo 4

Concluímos que o gráfico de z = \sqrt{4 - (x^2 + y^2)} é exatamente a metade superior (hemisfério) dessa esfera de raio 2. Em coordenadas polares no plano xy, pode-se parametrizar por
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = \sqrt{4 - r^2},
com 0 \le r \le 2 e 0 \le \theta < 2\pi.

Resposta

O gráfico é o hemisfério superior de raio 2 centrado na origem, apoiado sobre o disco x^2 + y^2 \le 4 em z=0.

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