Exercício 1.14 Realizar o gráfico da seguinte equação:
(c) z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da superfície
z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + 1.
O conteúdo envolve superfícies em \mathbb{R}^3 com simetria radial. Para desenhar, vamos usar coordenadas cilíndricas e estudar curvas de nível e seções transversais.

Passo 2

Observamos que \sqrt{x^{2}+y^{2}} é justamente a coordenada radial
\;r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
Logo,
z = r + 1,
com r\ge0. Isso mostra que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo z e que z\ge1.

Passo 3

Estudamos as curvas de nível horizontais, isto é, a interseção com o plano z = c. Temos
c = r + 1 \quad\Longrightarrow\quad r = c - 1.
Para c\ge1, cada curva de nível é um círculo de raio c-1 no plano z=c. Para c<1 não há pontos, pois r\ge0 força c\ge1.

Passo 4

Analisamos a seção pela reta y=0 (plano xz). Nesse caso r=|x| e a superfície satisfaz
z = |x| + 1.
No plano xz isso desenha um “V” com vértice em (0,1) e ramos de inclinação \pm1. Ao rodar esse perfil em torno do eixo z, obtemos uma superfície cônica.

Passo 5

Concluímos que o gráfico é um cone circular reto de vértice em (0,0,1), abrindo para cima com geratrizes que fazem um ângulo de 45^\circ com o plano horizontal. As curvas de nível são círculos de raios crescentes conforme subimos em z.

Resposta

O gráfico de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+1 é um cone circular reto com vértice em (0,0,1) e geratrizes inclinadas a 45^\circ em relação ao plano xy, cujas curvas de nível em z=c são círculos de raio c-1 para c\ge1.

Exercícios relacionados