Exercício 1.14 Realizar o gráfico da seguinte equação:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da superfície
O conteúdo envolve superfícies em
com simetria radial. Para desenhar, vamos usar coordenadas cilíndricas e estudar curvas de nível e seções transversais.
Passo 2
Observamos que
é justamente a coordenada radial
Logo,
com
. Isso mostra que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo
e que
.
Passo 3
Estudamos as curvas de nível horizontais, isto é, a interseção com o plano
. Temos
Para
, cada curva de nível é um círculo de raio
no plano
. Para
não há pontos, pois
força
.
Passo 4
Analisamos a seção pela reta
(plano
). Nesse caso
e a superfície satisfaz
No plano
isso desenha um “V” com vértice em
e ramos de inclinação
. Ao rodar esse perfil em torno do eixo
, obtemos uma superfície cônica.
Passo 5
Concluímos que o gráfico é um cone circular reto de vértice em
, abrindo para cima com geratrizes que fazem um ângulo de
com o plano horizontal. As curvas de nível são círculos de raios crescentes conforme subimos em
.
Resposta
O gráfico de
é um cone circular reto com vértice em
e geratrizes inclinadas a
em relação ao plano
, cujas curvas de nível em
são círculos de raio
para
.