Exercício 14: Resolva as inequações:
1)
)

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a inequação racional que, ao reunir tudo num só lado, fica
x^3 + 3x^2 - 4x -12x^2 + 4x -5 ;>=; 0
O conteúdo é análise de inequações racionais. Vamos: (i) fatorar numerador e denominador, (ii) determinar pontos críticos (zeros e singularidades), (iii) fazer análise de sinal em cada intervalo, (iv) montar a solução.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^3 + 3x^2 - 4x -12 = (x+3)(x-2)(x+2),
x^2 + 4x -5 = (x+5)(x-1)
Logo a inequação é equivalente a
(x+3)(x-2)(x+2)(x+5)(x-1) ;>=; 0

Passo 3

Os pontos que anulam o numerador são
x = -3,;-2,;2,
e os que anulam o denominador (onde a expressão não está definida) são
x = -5,;1
Esses valores dividem a reta real em seis intervalos.

Passo 4

Em cada intervalo avaliamos o sinal de cada fator:
  • Para x<-5: (x+3)<0, (x-2)<0, (x+2)<0, (x+5)<0, (x-1)<0. Assim sinal da fração é -.
  • Para -5<x<-3: três fatores do numerador continuam negativos e um positivo, mas o denominador troca para -, resultando em +.
  • Para -3<x<-2: numerador tem dois fatores positivos e um negativo ( +cdot-cdot+=-), denominador é -, ficando -div - = +? Atenção: Na verdade numerador +cdot-cdot-=+ e denom (x+5)>0,(x-1)<0Rightarrow- então +div - = -.
  • Para -2<x<1: numerador tem um fator negativo (x-2), dois positivos, logo -; denominador é -, logo total +.
  • Para 1<x<2: numerador tem um fator negativo, dois positivos Rightarrow -; denominador é +, logo total -.
  • Para x>2: todos os fatores são positivos, logo fração +.

Passo 5

Agora incluímos os zeros do numerador (onde a expressão vale zero) e excluímos as singularidades (denominador zero). Portanto a solução da inequação >=0 é
(-5,-3];cup;[-2,1);cup;[2,infty)

Resposta

(-5,-3];cup;[-2,1);cup;[2,infty)

Exercícios relacionados