• Exercício 16: Resolva o sistema linear 3 times 3 abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel (com 3 iterações):
4 x+y+z=5
-x+3 y+z=2
2 x+y+5 z=8
  • Estude a convergência do método para este sistema.
  • Experimente diferentes condições iniciais e observe o comportamento das iterações.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
4x + y + z = 5, -,x + 3y + z = 2, 2x + y + 5z = 8
usando o método de Gauss–Seidel em 3 iterações, estudar a convergência e observar o efeito de diferentes condições iniciais. O conteúdo é método iterativo de Gauss–Seidel, que requer isolar cada variável na sua equação e verificar a convergência via dominância diagonal da matriz do sistema.

Passo 2

A decomposição em iteração de Gauss–Seidel dá as fórmulas
x^(k+1) = 14l(5 - y^(k) - z^(k)r),
y^(k+1) = 13l(2 + x^(k+1) - z^(k)r),
z^(k+1) = 15l(8 - 2,x^(k+1) - y^(k+1)r)
Escolhemos inicialmente (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,0,0).

Passo 3

Primeira iteração ( k=0 to k=1):
x^(1) = 14(5 - 0 - 0) = 1,25,
y^(1) = 13(2 + 1,25 - 0) = 1,0833333,
z^(1) = 15(8 - 2cdot1,25 - 1,0833333) = 0,8833333

Passo 4

Segunda iteração ( k=1 to k=2):
x^(2) = 14(5 - 1,0833333 - 0,8833333) = 0,7583333,
y^(2) = 13(2 + 0,7583333 - 0,8833333) = 0,625,
z^(2) = 15(8 - 2cdot0,7583333 - 0,625) = 1,1716667

Passo 5

Terceira iteração ( k=2 to k=3):
x^(3) = 14(5 - 0,625 - 1,1716667) = 0,8008333,
y^(3) = 13(2 + 0,8008333 - 1,1716667) = 0,5430556,
z^(3) = 15(8 - 2cdot0,8008333 - 0,5430556) = 1,1710556
Depois de 3 iterações, (x,y,z)approx(0,8008,0,5431,1,1711).

Passo 6

Para estudar a convergência, olhamos a matriz
A = 4 & 1 & 1 -1 & 3 & 1 2 & 1 & 5
Cada linha satisfaz
|aii| > sumjneq i|aij|,
isto é, 4> 1+1, 3> 1+1 e 5> 2+1. Como há dominância diagonal estrita, o método de Gauss–Seidel converge para qualquer condição inicial.

Passo 7

Escolhendo outra condição inicial, por exemplo (x^(0),y^(0),z^(0))=(1,1,1), já na primeira iteração obtém–se
x^(1)=0,75, y^(1)=0,5833, z^(1)=1,1833,
e as sucessivas iterações se aproximam da mesma solução. Isso confirma a convergência independente da escolha inicial.

Resposta

Após 3 iterações com (0,0,0),
(x^(3),y^(3),z^(3))approx(0,8008,0,5431,1,1711)
O método converge para a solução exata (0,8214,0,5536,1,1607) devido à dominância diagonal estrita. Condições iniciais diferentes conduzem à mesma solução final.

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