Exercício 16: Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel (com 3 iterações):
Estude a convergência do método para este sistema.
Experimente diferentes condições iniciais e observe o comportamento das iterações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
usando o método de Gauss–Seidel em iterações, estudar a convergência e observar o efeito de diferentes condições iniciais. O conteúdo é método iterativo de Gauss–Seidel, que requer isolar cada variável na sua equação e verificar a convergência via dominância diagonal da matriz do sistema.
Passo 2
A decomposição em iteração de Gauss–Seidel dá as fórmulas
Escolhemos inicialmente .
Passo 3
Primeira iteração ():
Passo 4
Segunda iteração ():
Passo 5
Terceira iteração ():
Depois de iterações, .
Passo 6
Para estudar a convergência, olhamos a matriz
Cada linha satisfaz
|aii| > sumjneq i|aij|,
isto é, 4>1+1, 3>1+1 e 5>2+1. Como há dominância diagonal estrita, o método de Gauss–Seidel converge para qualquer condição inicial.
Passo 7
Escolhendo outra condição inicial, por exemplo (x^(0),y^(0),z^(0))=(1,1,1), já na primeira iteração obtém–se
x^(1)=0,75, y^(1)=0,5833, z^(1)=1,1833,
e as sucessivas iterações se aproximam da mesma solução. Isso confirma a convergência independente da escolha inicial.
Resposta
Após 3 iterações com (0,0,0),
(x^(3),y^(3),z^(3))approx(0,8008,0,5431,1,1711)
O método converge para a solução exata (0,8214,0,5536,1,1607) devido à dominância diagonal estrita. Condições iniciais diferentes conduzem à mesma solução final.