Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{tg}^{10}\left(x^{2}+3 x-5\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos
f(x)=\tan^{10}\bigl(x^{2}+3x-5\bigr)
e precisamos calcular f'(x). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, a derivada de potência e a derivada da função tangente.

Passo 2

Identificamos três camadas de composição:
– função interna
U(x)=x^{2}+3x-5,
– função intermediária
G(z)=\tan(z),
– função externa
H(w)=w^{10}.
Vamos derivar de dentro para fora usando a regra da cadeia.

Passo 3

Derivada de H(w)=w^{10}:
H'(w)=10\,w^{9}.

Passo 4

Derivada de G(z)=\tan(z):
G'(z)=\operatorname{sec}^{2}(z).

Passo 5

Derivada de U(x)=x^{2}+3x-5:
U'(x)=2x+3.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia em cascata:
f'(x) =H'\bigl(G(U(x))\bigr)\;\cdot\;G'\bigl(U(x)\bigr)\;\cdot\;U'(x).
Substituindo cada derivada:
f'(x) =10\bigl(\tan(x^{2}+3x-5)\bigr)^{9}\;\cdot\;\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+3x-5)\;\cdot\;(2x+3).

Resposta

f'(x)=10\,(2x+3)\,\tan^{9}\bigl(x^{2}+3x-5\bigr)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+3x-5\bigr).

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