Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x) \cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo envolve a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para derivar \operatorname{sen}^{2}(x) usamos a regra da cadeia. Seja u(x)=\operatorname{sen}(x), então
\operatorname{sen}^{2}(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{2}
e
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{2}(x) = 2\,u(x)\,u'(x) = 2\,\operatorname{sen}(x)\,\cos(x).

Passo 3

Para derivar \cos\bigl(x^{2}\bigr) também aplicamos a regra da cadeia. Seja v(x)=x^{2}, então
\cos\bigl(x^{2}\bigr)=\cos\bigl(v(x)\bigr)
e
\frac{d}{dx}\cos\bigl(x^{2}\bigr) = -\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x) = -\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = -2x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto a
f(x)=u_1(x)\,u_2(x) \quad\text{com}\quad u_1(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), \;u_2(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Logo
f'(x)=u_1'(x)\,u_2(x)+u_1(x)\,u_2'(x).

Passo 5

Substituindo u_1',u_2,u_1,u_2' temos
f'(x) = \bigl(2\,\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr) + \operatorname{sen}^{2}(x)\,\bigl(-2x\,\operatorname{sen}(x^{2})\bigr).
Agrupando e simplificando:
f'(x) = 2\,\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr) - 2x\,\operatorname{sen}^{2}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

\boxed{f'(x) =2\,\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr) -2x\,\operatorname{sen}^{2}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).}

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