Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}\left(\cos \left(\operatorname{sen}^{2}(x)\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\cos\bigl(\sin^2(x)\bigr)\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas de funções trigonométricas.

Passo 2

Identificamos a composição em três níveis: seja
u(x)=\cos\bigl(\sin^2(x)\bigr),
então
f(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr).
Aplicando a regra da cadeia à primeira composição, temos
f'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr),
onde
v(x)=\sin^2(x).
Pela regra da cadeia em u(x)=\cos(v(x)), obtemos
u'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,\cdot v'(x).

Passo 4

Falta derivar
v(x)=\bigl(\sin(x)\bigr)^2.
Usando a regra do poder e a derivada de \sin(x), temos
v'(x)=2\,\sin(x)\,\cos(x).

Passo 5

Juntando os resultados:
f'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\bigl[-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)\bigr] =-\cos\bigl(\cos(\sin^2(x))\bigr)\,\sin\bigl(\sin^2(x)\bigr)\,\bigl(2\,\sin(x)\cos(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=-2\,\cos\bigl(\cos(\sin^2(x))\bigr)\,\sin\bigl(\sin^2(x)\bigr)\,\sin(x)\,\cos(x).

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