Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{\operatorname{sec} (x)}, x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}, x^{2}>5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{\operatorname{sec}(x)},
com domínio x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi e x^{2}>5.
Para resolver vamos reescrever em produto e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevo a função como
f(x)=\sqrt{x^{2}-5}\;\cos(x).

Passo 3

Defino
u(x)=\sqrt{x^{2}-5}=(x^{2}-5)^{\tfrac12},
então, pela regra da cadeia,
u'(x) =\tfrac12(x^{2}-5)^{-\tfrac12}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-5}}.
E também
v(x)=\cos(x), \quad v'(x)=-\sin(x).

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-5}}\cos(x) +\sqrt{x^{2}-5}\,(-\sin(x)).

Passo 5

Agrupando os termos e colocando num denominador comum,
f'(x) =\frac{x\cos(x)}{\sqrt{x^{2}-5}} -\sqrt{x^{2}-5}\,\sin(x) =\frac{x\cos(x)-(x^{2}-5)\,\sin(x)}{\sqrt{x^{2}-5}}.

Resposta

f'(x) =\frac{x\cos(x)}{\sqrt{x^{2}-5}}-\sqrt{x^{2}-5}\,\sin(x) =\frac{x\cos(x)-(x^{2}-5)\sin(x)}{\sqrt{x^{2}-5}}.

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