Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\cos \left(\operatorname{sen}\left(5 x^{3}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\operatorname{sen}(5x^3)\bigr).
O conteúdo aqui é derivada de funções compostas (regra da cadeia) e derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna em três camadas:
  1. F(u)=\cos(u)
  2. G(v)=\operatorname{sen}(v)
  3. H(x)=5x^3
    Para usar a regra da cadeia, lembramos que se
f(x)=F\bigl(G(H(x))\bigr),
então
f'(x)=F'\bigl(G(H(x))\bigr)\;G'\bigl(H(x)\bigr)\;H'(x).

Passo 3

Derivada da camada mais externa:
F(u)=\cos(u)\quad\Longrightarrow\quad F'(u)=-\operatorname{sen}(u).

Passo 4

Derivada da segunda camada:
G(v)=\operatorname{sen}(v)\quad\Longrightarrow\quad G'(v)=\cos(v).
E da terceira camada:
H(x)=5x^3\quad\Longrightarrow\quad H'(x)=15x^2.

Passo 5

Agora substituímos na regra da cadeia:
f'(x) =F'\bigl(G(H(x))\bigr)\;G'\bigl(H(x)\bigr)\;H'(x) =-\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(5x^3)\bigr)\;\cos(5x^3)\;15x^2.

Resposta

f'(x)=-15x^2\,\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(5x^3)\bigr)\cos(5x^3).

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