Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\sqrt{\left(x^{2}+1+\cos (x)\right)^{3}}, x^{2}+1+\cos (x)>0

Passo 1

O enunciado dá f(x)=\sqrt{\bigl(x^{2}+1+\cos(x)\bigr)^{3}}
com a condição x^{2}+1+\cos(x)>0.
O conteúdo aqui é derivada de função composta envolvendo potência e funções trigonométricas. Vamos usar a regra da cadeia e saber que \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{2}+1+\cos(x),
de modo que
f(x)=\sqrt{u(x)^{3}}=\bigl(u(x)\bigr)^{3/2}.
Aqui usamos a propriedade \sqrt{a^{3}}=a^{3/2}, válida pois u(x)>0.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{3/2}, então
f'(x)=\frac{3}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{3/2-1}\,u'(x) =\frac{3}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{1/2}\,u'(x).
Agora derivamos u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1+\cos(x)\bigr) =2x-\sin(x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão de f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{3}{2}\bigl(x^{2}+1+\cos(x)\bigr)^{1/2}\,(2x-\sin(x)).

Resposta

f'(x) =\frac{3}{2}\,(2x-\sin(x))\,\sqrt{x^{2}+1+\cos(x)}.

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