Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
2 \cdot 3^{x-2}=162

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial a seguir e pede para encontrar a variável x:
2\cdot 3^{x-2}=162.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão exponencial é 3^{x-2}.
  • Há um coeficiente multiplicando a potência: 2.
  • O lado direito é o número 162.
  • A incógnita é x (um número real que queremos achar).

Passo 2

Isolar a potência exponencial. Para isso divido ambos os lados da equação por 2 (operações feitas em ambos os lados preservam a igualdade):
3^{x-2}=\frac{162}{2}.
Calculo a divisão no lado direito:
3^{x-2}=81.

Passo 3

Reconhecer 81 como potência de 3. Vou listar potências pequenas de 3 para ver qual dá 81:
3^{1}=3,\qquad 3^{2}=9,\qquad 3^{3}=27,\qquad 3^{4}=81.
Logo 81=3^{4}. Substituindo em 3^{x-2}=81 obtemos
3^{x-2}=3^{4}.
Quando temos \,a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq1, podemos igualar os expoentes: u=v. Aqui a=3 satisfaz essas condições, então
x-2=4.

Passo 4

Resolver a equação linear que ficou para x. Somando 2 em ambos os lados:
x=4+2,
portanto
x=6.

Passo 5

Método alternativo (útil se não for óbvio que 81=3^{4}): usar logaritmos. Aplicando \ln (logaritmo natural) aos dois lados de 3^{x-2}=81,
\ln\!\big(3^{x-2}\big)=\ln(81).
Pela propriedade \ln(a^{b})=b\ln(a),
(x-2)\ln 3=\ln 81.
Isolando x,
x-2=\frac{\ln 81}{\ln 3}=\log_{3}81=4,
logo x=6. (Mesmo resultado.)

Passo 6

Verificação final: substituir x=6 na equação original:
2\cdot 3^{6-2}=2\cdot 3^{4}=2\cdot 81=162,
que é exatamente o lado direito. A solução está correta. Força aí — resolveu!

Resposta

x=6

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