Exercício 14 - (SILVA; CAVALHEIRO, 2012) Fatore:
(x+2)^-2+(x+2)^-3

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para fatorar a expressão (x+2)^-2 + (x+2)^-3. A gente está lidando com expressões algébricas e fatoração. Para resolver isso, vamos precisar identificar o fator comum nas duas parcelas e usar a propriedade de fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um expoente negativo. Quando temos (x+2)^-n, isso é o mesmo que 1(x+2)^n. Então, nossa expressão fica:
(x+2)^-2 + (x+2)^-3 = 1(x+2)^2 + 1(x+2)^3

Passo 3

Agora, vamos identificar o fator comum nas duas frações. Olhando bem, ambas têm (x+2) elevado a uma potência no denominador. O menor expoente negativo é -3, então vamos fatorar 1(x+2)^3 como fator comum.

Passo 4

Fatorando 1(x+2)^3, a gente reescreve a expressão da seguinte forma:
1(x+2)^3 [ (x+2)^(-2) - (-3) + 1 ]
Simplificando os expoentes:
1(x+2)^3 [ (x+2)^1 + 1 ]
Que fica:
1(x+2)^3 (x+2 + 1)

Passo 5

Agora, somamos os termos dentro do parênteses:
x + 2 + 1 = x + 3
Então, a expressão fica:
1(x+2)^3 (x + 3)

Resposta

A expressão fatorada é:
x + 3(x + 2)^3

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