Nos exercícios 8 a 27 , calcular as derivadas parciais de 1^ a ordem.
z=x yx^2+2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x,yx^2 + 2y^2
Para isso vamos usar a regra do quociente: se z = f(x,y)g(x,y) então
partial zpartial x = partial fpartial x,g - f,partial gpartial xg^2, partial zpartial y = partial fpartial y,g - f,partial gpartial yg^2

Passo 2

Calcular partial zpartial x. Tomamos
f(x,y) = x y, g(x,y) = x^2 + 2y^2
Então
partial fpartial x = y, partial gpartial x = 2x
Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial x = ,y,(x^2 + 2y^2) - (x y),(2x),(x^2 + 2y^2)^2 = x^2y + 2y^3 - 2x^2y(x^2 + 2y^2)^2 = -x^2y + 2y^3(x^2 + 2y^2)^2 = y,(2y^2 - x^2)(x^2 + 2y^2)^2

Passo 3

Calcular partial zpartial y. Agora
partial fpartial y = x, partial gpartial y = 4y
Pela regra do quociente:
partial zpartial y = ,x,(x^2 + 2y^2) - (x y),(4y),(x^2 + 2y^2)^2 = x^3 + 2x y^2 - 4x y^2(x^2 + 2y^2)^2 = x^3 - 2x y^2(x^2 + 2y^2)^2 = x,(x^2 - 2y^2)(x^2 + 2y^2)^2

Resposta

partial zpartial x = y,(2y^2 - x^2)(x^2 + 2y^2)^2, partial zpartial y = x,(x^2 - 2y^2)(x^2 + 2y^2)^2

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