Exercício 2.17. Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo do cubo de vértices
, orientado para fora.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a superfície
formada pelo topo
e pelos quatro lados do cubo de vértices
, sem o fundo
, orientada para fora.
O objetivo é calcular
O objetivo é calcular
Para isso, vamos usar o fato de que a superfície formada por
mais o fundo fecha o cubo, e que
A partir disso, obteremos
Passo 2
Calculemos
.
Denotando , temos
Denotando
logo
Em seguida,
então
Por fim,
de onde
Logo
Passo 3
O fundo do cubo é a face
, cuja normal externa é
Como
, a lei da divergência no volume fechado dá
Passo 4
No fundo
temos
então
O elemento de área é
no quadrado
. Assim,
Calculemos
Logo
e
Passo 5
Finalmente,