Exercício 5.9 Determine a massa total de uma lamina retangular definida pelas desigualdades -1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2. A densidade da lamina retangular é \sigma(x, y)=|\cos (x)||y|.

Passo 1

O enunciado pede a massa total de uma lâmina retangular R definida por
-1 \le x \le 1,\quad -2 \le y \le 2
com densidade \sigma(x,y)=|\cos(x)|\,|y|. O conteúdo aqui é cálculo de integração dupla para massa:
M = \iint_{R} \sigma(x,y)\,dA.

Passo 2

Para escrever como integral iterada, note que R é um retângulo, então
M \;=\;\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-2}^{2}|\cos(x)|\,|y|\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y. Como |y| é função par em relação a zero,
\int_{-2}^{2}|y|\,dy \;=\;2\int_{0}^{2}y\,dy \;=\;2\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} \;=\;2\cdot 2 \;=\;4.
Logo
M = \int_{-1}^{1}|\cos(x)|\;\Bigl(\int_{-2}^{2}|y|\,dy\Bigr)\,dx =4\int_{-1}^{1}|\cos(x)|\,dx.

Passo 4

Agora analisamos \cos(x) em [-1,1]. Como 1<\tfrac{\pi}{2}, temos \cos(x)\ge0 para todo x\in[-1,1], logo |\cos(x)|=\cos(x). Assim
\int_{-1}^{1}|\cos(x)|\,dx = \int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx =2\int_{0}^{1}\cos(x)\,dx =2\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{1} =2\sin(1).

Passo 5

Substituindo de volta em M:
M = 4\cdot\bigl(2\sin(1)\bigr) =8\sin(1).

Resposta

8\sin(1)

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