Exercício 5.6 Calcular \iint_{\Omega} f(x, y) d x d y nos seguintes casos:
f(x, y)=y^{-1} \ln (x+1), \Omega=\{0 \leq x \leq y-1,1 \leq y \leq 4\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=\frac{1}{y}\ln(x+1)
sobre a região \Omega=\{(x,y)\mid 0\le x\le y-1,\;1\le y\le 4\}.
O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar a iteração \iint_\Omega f(x,y)\,dx\,dy=\int_{y=1}^{4}\!\int_{x=0}^{y-1}\frac{1}{y}\ln(x+1)\,dx\,dy.

Passo 2

Montamos o integral iterado
\iint_{\Omega}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{y=1}^{4}\frac{1}{y}\bigg(\int_{x=0}^{y-1}\ln(x+1)\,dx\bigg)dy.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{y-1}\ln(x+1)\,dx, fazemos a substituição t=x+1, de modo que t vai de 1 a y. Assim
\int_{0}^{y-1}\ln(x+1)\,dx =\int_{1}^{y}\ln t\,dt =\bigl[t\ln t - t\bigr]_{1}^{y} =y\ln y - y + 1.

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
\iint_{\Omega}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{1}^{4}\frac{1}{y}\bigl(y\ln y - y + 1\bigr)\,dy =\int_{1}^{4}\bigl(\ln y - 1 + \tfrac{1}{y}\bigr)\,dy.
Agora integramos termo a termo: \displaystyle \int\ln y\,dy = y\ln y - y, \displaystyle \int(-1)\,dy = -y, \displaystyle \int\frac{1}{y}\,dy = \ln y.

Passo 5

Portanto o antiderivado é
y\ln y - y - y + \ln y =y\ln y - 2y + \ln y.
Avaliando de 1 a 4:
em y=4 4\ln 4 - 8 + \ln 4 =5\ln 4 -8,
em y=1 -2.
A diferença é
(5\ln 4 -8)-(-2) =5\ln 4 -6 =10\ln 2 -6.

Resposta

\iint_{\Omega}f(x,y)\,dx\,dy =10\ln 2 -6.

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