Exercício 15 Construir um triângulo retângulo conhecendo-se a hipotenusa e a diferença dos dois catetos.

Passo 1

O enunciado pede a construção, com régua e compasso, de um triângulo retângulo sabendo-se a hipotenusa c e a diferença dos catetos d. Vamos usar operações clássicas de construção de segmentos: soma, diferença, bissetriz de segmento e construção de raíz quadrada por meio de círculos-diametral e retas perpendiculares. O objetivo final é obter dois catetos x e y tais que
y - x = d e x^2 + y^2 = c^2,
e então traçar o triângulo de lados x, y e c.

Passo 2

Construir o segmento
e = raizc^2 - d^2
para em seguida obter
s = raiz2c^2 - d^2 = raizc^2 + e^2
(a) Sobre o segmento AB de comprimento c, marque seu ponto médio M e trace a circunferência de diâmetro AB.
(b) Com centro em A e raio d, trace outra circunferência. O ponto de interseção C (escolhendo a posição acima de AB) satisfaz AC=d e o triângulo ABC é retângulo em C. Então
BC = raizAB^2 - AC^2 = raizc^2 - d^2 = e
(c) Em C, erga a perpendicular a AB e, com centro C e raio e, marque D sobre essa perpendicular. O segmento AD tem comprimento
AD = raizAB^2 + BC^2 = raizc^2 + e^2 = s

Passo 3

Construir, num ponto-base O, os segmentos s+d e s-d:
(a) Desenhe um semirreta a partir de O. Sobre ela marque P tal que OP = AD = s, e em seguida Q tal que PQ = d. Logo OQ = s + d.
(b) Desenhe outra semirreta OR. Sobre ela marque R1 tal que OR1 = d e depois S tal que R1S = s. Então OS = s - d.

Passo 4

Dividir em dois (bissetriz de segmento) os segmentos OQ e OS para obter:
(a) O ponto médio U de OQ de modo que
OU = s + d2 = y
(b) O ponto médio V de OS de modo que
OV = s - d2 = x

Passo 5

Traçar as duas semirretas perpendiculares em um ponto T. Sobre a primeira marque X tal que TX = OV = x e sobre a segunda marque Y tal que TY = OU = y. Finalmente, una X a Y. Pelo Teorema de Pitágoras
XY = raizx^2 + y^2 = raizc^2 = c,
e ang<= XTY = 90^circ. Assim o triângulo XTY é o procurado, com hipotenusa XY=c e diferença dos catetos TY - TX = y - x = d.

Resposta

O triângulo retângulo XTY construído tem hipotenusa XY=c e catetos TX=x, TY=y satisfazendo y-x=d.

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