Exercício 15 Construir um triângulo retângulo conhecendo-se a hipotenusa e a diferença dos dois catetos.
Passo 1
O enunciado pede a construção, com régua e compasso, de um triângulo retângulo sabendo-se a hipotenusa
e a diferença dos catetos
. Vamos usar operações clássicas de construção de segmentos: soma, diferença, bissetriz de segmento e construção de raíz quadrada por meio de círculos-diametral e retas perpendiculares. O objetivo final é obter dois catetos
e
tais que
e então traçar o triângulo de lados
,
e
.
Passo 2
Construir o segmento
para em seguida obter
(a) Sobre o segmento
de comprimento
, marque seu ponto médio
e trace a circunferência de diâmetro
.
(b) Com centro em e raio
, trace outra circunferência. O ponto de interseção
(escolhendo a posição acima de
) satisfaz
e o triângulo
é retângulo em
. Então
(b) Com centro em
(c) Em
, erga a perpendicular a
e, com centro
e raio
, marque
sobre essa perpendicular. O segmento
tem comprimento
Passo 3
Construir, num ponto-base
, os segmentos
e
:
(a) Desenhe um semirreta a partir de . Sobre ela marque
tal que
, e em seguida
tal que
. Logo
.
(b) Desenhe outra semirreta . Sobre ela marque
tal que
e depois
tal que
. Então
.
(a) Desenhe um semirreta a partir de
(b) Desenhe outra semirreta
Passo 4
Dividir em dois (bissetriz de segmento) os segmentos
e
para obter:
(a) O ponto médio de
de modo que
(a) O ponto médio
(b) O ponto médio
de
de modo que
Passo 5
Traçar as duas semirretas perpendiculares em um ponto
. Sobre a primeira marque
tal que
e sobre a segunda marque
tal que
. Finalmente, una
a
. Pelo Teorema de Pitágoras
e
. Assim o triângulo
é o procurado, com hipotenusa
e diferença dos catetos
.
Resposta
O triângulo retângulo
construído tem hipotenusa
e catetos
,
satisfazendo
.