Exercício 17 Construir um triângulo retângulo conhecendo a hipotenusa e a altura que lhe corresponde.

Passo 1

O problema pede a construção de um triângulo retângulo ABC em que AB é a hipotenusa de comprimento dado c e a altura de C sobre AB tem comprimento dado h. Vamos usar as seguintes ideias da geometria clássica:
  • Um ângulo inscrito em semicircunferência é reto (teorema de Tales).
  • A distância de um ponto a uma reta mede a altura desse ponto sobre a reta.
  • Com régua e compasso podemos traçar perpendicular e paralela a uma reta num ponto dado e transferir comprimentos.

Passo 2

Trace o segmento AB de comprimento ,c. Este será o segmento dado que representa a hipotenusa do triângulo.

Passo 3

No ponto A, construa a reta perpendicular a AB. Para isso, com compasso marque arcos iguais em torno de A que cortem AB, e a partir desses pontos trace arcos cruzados; ligue a interseção desses arcos ao ponto A.

Passo 4

Transfira o comprimento h ao longo da perpendicular por A: com o compasso abra o segmento dado de comprimento h e marque o ponto H sobre essa perpendicular tal que AH=h.

Passo 5

Por H, trace a reta paralela a AB. Para isso, construa a perpendicular a AB em A (já feita) e então no ponto H faça outra perpendicular a essa, obtendo assim a reta r que é paralela a AB.

Passo 6

Construa a circunferência de diâmetro AB. Ache o ponto médio M de AB (traçando perpendiculares nos extremos e ligando interseções) e, com centro em M e raio tfracc2, desenhe a circunferência.

Passo 7

Os pontos de interseção C (há dois, um acima e outro abaixo de AB) entre a reta r e a circunferência são os vértices possíveis do triângulo. Cada um deles satisfaz duas condições:
  1. ang<= ACB é reto, pois está inscrito em semicircunferência de diâmetro AB.
  2. A altura de C a AB tem medida h, pois C está sobre a paralela a AB a distância h.

Passo 8

Una A a cada ponto C e B a C. Os triângulos ABC formados são retângulos, têm hipotenusa AB=c e altura em C sobre AB igual a h.

Resposta

Concluímos a construção do triângulo(s) retângulo(s) com hipotenusa AB=c e altura correspondente h usando circunferência de diâmetro AB e reta paralela a AB à distância h.

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