Exercício 15. Dado A=\{a, b\}, obter \mathscr{P}\left(A^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para, dado A = \{a,b\}, obter o conjunto das partes de A^2, ou seja, \mathscr{P}(A^2). O conteúdo é produto cartesiano e definição de conjunto das partes (power set).

Passo 2

Primeiro formamos o produto cartesiano
A^2 = A \times A = \{(a,a),\,(a,b),\,(b,a),\,(b,b)\}.

Passo 3

Como \lvert A^2\rvert = 4, o conjunto das partes \mathscr{P}(A^2) terá 2^4 = 16 subconjuntos. Vamos listá-los organizados por cardinalidade.

Passo 4

Os subconjuntos de A^2 são:
  • cardinalidade 0:
    \emptyset.
  • cardinalidade 1:
    \{(a,a)\},\;\{(a,b)\},\;\{(b,a)\},\;\{(b,b)\}.
  • cardinalidade 2:
    \{(a,a),(a,b)\},\;\{(a,a),(b,a)\},\;\{(a,a),(b,b)\},\;\{(a,b),(b,a)\},\;\{(a,b),(b,b)\},\;\{(b,a),(b,b)\}.
  • cardinalidade 3:
    \{(a,a),(a,b),(b,a)\},\;\{(a,a),(a,b),(b,b)\},\;\{(a,a),(b,a),(b,b)\},\;\{(a,b),(b,a),(b,b)\}.
  • cardinalidade 4:
    \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}.

Resposta

\mathscr{P}(A^2)=\bigl\{\, \emptyset,\, \{(a,a)\},\{(a,b)\},\{(b,a)\},\{(b,b)\},\, \{(a,a),(a,b)\},\{(a,a),(b,a)\},\{(a,a),(b,b)\},\{(a,b),(b,a)\},\{(a,b),(b,b)\},\{(b,a),(b,b)\},\, \{(a,a),(a,b),(b,a)\},\{(a,a),(a,b),(b,b)\},\{(a,a),(b,a),(b,b)\},\{(a,b),(b,a),(b,b)\},\, \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}\,\bigr\}.

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