Exercício 23. Determinar o ângula entre os seguintes planos
\Pi_{1}:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+s-t \\\ y & =s+2 t \\\ z & =s\end{array}\right. e \Pi_{2}:\left\{\begin{array}{ll}x & =2+t \\\ y & =-2 s \\\ z & =s+t\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica e pede o ângulo entre eles. O conteúdo aqui é geometria analítica de espaços tridimensionais: para encontrar o ângulo entre planos, primeiro extraímos vetores normais a cada plano usando produto vetorial em seus vetores diretores e depois usamos o produto escalar para obter o cosseno do ângulo entre esses normais.

Passo 2

Para \Pi_{1} temos
x=1+s-t,\quad y=s+2t,\quad z=s
os vetores diretores são
\mathbf{v}_{s}=\frac{\partial}{\partial s}(x,y,z)=(1,1,1), \quad \mathbf{v}_{t}=\frac{\partial}{\partial t}(x,y,z)=(-1,2,0).

Passo 3

O vetor normal a \Pi_{1} é
\mathbf{n}_{1}=\mathbf{v}_{s}\times \mathbf{v}_{t} =(1,1,1)\times(-1,2,0)
\mathbf{n}_{1} =\bigl(1\cdot0 - 1\cdot2,\;1\cdot(-1)-1\cdot0,\;1\cdot2-1\cdot(-1)\bigr) =(-2,-1,3).

Passo 4

Para \Pi_{2} temos
x=2+t,\quad y=-2s,\quad z=s+t
os vetores diretores são
\mathbf{w}_{s}=(0,-2,1), \quad \mathbf{w}_{t}=(1,0,1).
O vetor normal a \Pi_{2} é
\mathbf{n}_{2}=\mathbf{w}_{s}\times \mathbf{w}_{t} =(0,-2,1)\times(1,0,1)
\mathbf{n}_{2} =\bigl((-2)\cdot1 - 1\cdot0,\;1\cdot1 - 0\cdot1,\;0\cdot0 -(-2)\cdot1\bigr) =(-2,1,2).

Passo 5

O ângulo \theta entre os planos corresponde ao ângulo entre \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2}. Usamos
\cos\theta =\frac{\mathbf{n}_{1}\cdot \mathbf{n}_{2}}{\|\mathbf{n}_{1}\|\;\|\mathbf{n}_{2}\|}.
Calculando:
\mathbf{n}_{1}\cdot \mathbf{n}_{2} =(-2)\,(-2)+(-1)\,1+3\cdot2 =4-1+6=9,
\|\mathbf{n}_{1}\|=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}, \quad \|\mathbf{n}_{2}\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3.
Logo
\cos\theta =\frac{9}{3\,\sqrt{14}} =\frac{3}{\sqrt{14}},
\theta =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

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