Exercício 3 (Diferenciabilidade e continuidade). Considere a função
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \in \mathbb{Q}, \\\\ 0, & \text { se } x \notin \mathbb{Q} .\end{cases}
Mostre que ela é diferenciável em x=0. Conclua que ela é contínua em 0 . Mostre que essa função é um contra-exemplo para a afirmação de que se f é diferenciável em um ponto x, então existe uma vizinhança V \doteq(x-\delta, x+\delta) tal que f é contínua em V.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text{se } x \in \mathbb{Q}, \\[4pt] 0, & \text{se } x \notin \mathbb{Q} ,\end{cases}
e pede três coisas: (i) mostrar que f é diferenciável em x=0; (ii) concluir que f é contínua em 0; (iii) mostrar que essa função é um contra-exemplo para a afirmação “se f é diferenciável em um ponto x, então existe uma vizinhança V\doteq(x-\delta,x+\delta) tal que f é contínua em V”.\n
As informações relevantes que o enunciado dá são exatamente a definição por partes de f: para números racionais vale x^2 e para irracionais vale 0. Não há figuras nem dados adicionais. A resolução começa agora.]

Passo 2

Vou lembrar a definição prática de derivada em um ponto e explicar como usá-la aqui. Dizemos que f é diferenciável em a se o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (como número finito). No nosso caso tomamos a=0. Então precisamos estudar
\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h},
pois f(0) aparece subtraído no numerador. Note que \,f(0) precisa ser identificado: como 0\in\mathbb{Q}, temos f(0)=0^{2}=0.

Passo 3

Vamos analisar o quociente \dfrac{f(h)}{h} dependendo de h racional ou irracional e obter uma desigualdade útil. Se h\in\mathbb{Q} então f(h)=h^{2} e
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h.
Se h\notin\mathbb{Q} então f(h)=0 e
\frac{f(h)}{h}=\frac{0}{h}=0.
Logo, para todo h\neq0 temos a desigualdade simples e muito útil
\left|\frac{f(h)}{h}\right|\le |h|.
Explico por que: quando h é racional o lado esquerdo vale |h| e quando h é irracional o lado esquerdo vale 0, portanto em ambos os casos é \le|h|.

Passo 4

Agora usemos a desigualdade do passo anterior para passar ao limite. Sabemos que \lim_{h\to0}|h|=0. Como para todo h\neq0
\left|\frac{f(h)}{h}-0\right|=\left|\frac{f(h)}{h}\right|\le |h|,
pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}=0.
Portanto o limite que define a derivada em 0 existe e vale 0. Concluímos que f é diferenciável em 0 e que
f'(0)=0.

Passo 5

Agora concluo a continuidade em 0. Uma forma direta (além do fato geral “diferenciável implica contínua no ponto”) é observar que para todo x vale
|f(x)|\le x^{2}.
Justifico: se x\in\mathbb{Q} então f(x)=x^{2} e |f(x)|=x^{2}; se x\notin\mathbb{Q} então f(x)=0 e |f(x)|=0\le x^{2}. Como \lim_{x\to0}x^{2}=0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0).
Portanto f é contínua em 0.

Passo 6

Agora a parte do contra‑exemplo: mostrar que não existe uma vizinhança V de 0 onde f seja contínua em todo V. Vou provar algo mais forte e claro: f é descontínua em todo ponto x_{0}\neq0. Assim qualquer intervalo ao redor de 0 contém pontos onde f é descontínua, logo não existe vizinhança de 0 onde f seja contínua inteira.

Passo 7

Provo que f é descontínua em qualquer x_{0}\neq0. Tomemos x_{0}\neq0. Há duas possibilidades:
  1. Se x_{0}\in\mathbb{Q}, então f(x_{0})=x_{0}^{2}. Mas existem sequências de irracionais (r_{n}) com r_{n}\to x_{0} (irracionais são densos). Para esses r_{n} temos f(r_{n})=0 para todo n, então \lim_{n\to\infty}f(r_{n})=0. Como x_{0}^{2}\neq0, os valores limites ao aproximar por racionais (dão x_{0}^{2}) e por irracionais (dão 0) são diferentes, portanto \lim_{x\to x_{0}}f(x) não existe e f é descontínua em x_{0}.
  2. Se x_{0}\notin\mathbb{Q}, então f(x_{0})=0. Mas existem sequências de racionais (q_{n}) com q_{n}\to x_{0}. Para esses q_{n} temos f(q_{n})=q_{n}^{2} e \lim_{n\to\infty}q_{n}^{2}=x_{0}^{2}\neq0. Assim os valores de f ao aproximar por racionais tendem a x_{0}^{2}\neq0, enquanto f(x_{0})=0, logo f não é contínua em x_{0}.
Em ambas as situações, f é descontínua em x_{0}. Assim f é descontínua em todo ponto não nulo.

Passo 8

Concluímos o contra‑exemplo pedido: f é diferenciável em 0 (com f'(0)=0) e contínua em 0, mas não existe vizinhança de 0 onde f seja contínua em todos os pontos, porque f é descontínua em todo x\neq0. Isso mostra que a afirmação “diferenciável em x ⇒ existe vizinhança onde f é contínua” é falsa.

Resposta

f é diferenciável em 0 e f'(0)=0.
f é contínua em 0.
f é descontínua em todo x\neq0; logo não existe vizinhança de 0 onde f seja contínua em todos os pontos (contra‑exemplo à afirmação).

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