Exercício 2. Explique por que a definição intuitiva de limite pode ser inadequada, utilizando como exemplo a função f(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) quando x \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a nossa ideia “intuitiva” de limite — segundo a qual, ao fazermos x muito próximo de 0, f(x) deve ficar muito próximo de um único valor — falha para a função
f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1x\bigr)
quando x\to0. O conteúdo envolvido é o conceito de limite e a diferença entre a noção informal (“ f(x) vai para um valor”) e a definição formal \varepsilon
obreakdash– \delta.

Passo 2

Para entender o que acontece, note que, à medida que x\to0, o argumento 1/x cresce sem limite e a função \operatorname{sen}(1/x) oscila cada vez mais rápido entre -1 e 1. Em qualquer intervalo que contenha 0, por menor que seja, ainda existem pontos onde 1/x é, por exemplo, um múltiplo inteiro de \pi (fazendo \operatorname{sen}(1/x)=0) e pontos onde é \pi/2+2\pi n (fazendo \operatorname{sen}(1/x)=1). Isso indica que não há um valor único para o qual f(x) “se aproxima”.

Passo 3

Para ilustrar com sequências, tome
x_n = \frac{1}{n\pi} \quad\Longrightarrow\quad f(x_n)=\operatorname{sen}(n\pi)=0,
e
y_n = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n} \quad\Longrightarrow\quad f(y_n)=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\Bigr)=1.
Ambas satisfazem \lim_{n\to\infty}x_n=0 e \lim_{n\to\infty}y_n=0, mas produzem limites de f(x_n) iguais a 0 e de f(y_n) iguais a 1. Logo, há pelo menos duas “linhas de chegada” diferentes, o que impede a existência de um limite único.

Passo 4

Na definição formal, exigimos que exista um número L tal que, para todo \varepsilon>0, exista \delta>0 com
0<|x-0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.
Mas, se escolhermos \varepsilon=\tfrac12, qualquer \delta>0 conterá pontos onde f(x)=0 e outros onde f(x)=1, de modo que um desses valores ficará fora da banda \bigl(L-\tfrac12,\;L+\tfrac12\bigr). Assim, não há como garantir \lvert f(x)-L\rvert<\tfrac12 para todos os x em (0,\delta).

Resposta

A definição intuitiva falha porque f(x)=\operatorname{sen}(1/x) oscila infinitamente rápido entre -1 e 1 perto de 0, de modo que não existe um único valor L para o qual f(x) se aproxime. Formalmente, ao usar \varepsilon=\tfrac12, não se encontra \delta que mantenha \lvert f(x)-L\rvert<\tfrac12 em todo 0<|x|<\delta, mostrando que \lim_{x\to0}\operatorname{sen}(1/x) não existe.

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