Exercício 15. A função densidade de uma variável aleatória X\) é: \[f(x)= \begin{cases}6 x(1-x), & 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Encontre a função (Y=H(X)] que tem a função densidade:
g(y)= \begin{cases}12 y^{3}\left(1-y^{2}\right), & 0<y<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado dá a densidade de X em (0,1)
f(x)=6x(1-x)
e pede uma transformação Y=H(X), crescente de (0,1) em (0,1), tal que a densidade de Y seja
g(y)=12\,y^{3}\bigl(1-y^{2}\bigr).
Vamos usar o método de transformar pela CDF.

Passo 2

Calcular a função de distribuição de X:
F(x)=\int_{0}^{x}6t(1-t)\,dt =\;6\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{x} =3x^{2}-2x^{3}.

Passo 3

Calcular a função de distribuição de Y pretendida:
G(y)=\int_{0}^{y}12\,t^{3}(1-t^{2})\,dt =12\Bigl[\tfrac{t^{4}}{4}-\tfrac{t^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{y} =3y^{4}-2y^{6}.

Passo 4

Como H é crescente,
G(y)=P(Y\le y)=P\bigl(H(X)\le y\bigr) =P\bigl(X\le H^{-1}(y)\bigr)=F\bigl(H^{-1}(y)\bigr).
Logo devemos ter
F\bigl(H^{-1}(y)\bigr)=3y^{4}-2y^{6}.
Mas F(u)=3u^{2}-2u^{3}. Para coincidir com 3y^{4}-2y^{6} basta escolher
u=H^{-1}(y)=y^{2},
pois então
3\bigl(y^{2}\bigr)^{2}-2\bigl(y^{2}\bigr)^{3} =3y^{4}-2y^{6}.

Passo 5

Invertendo H^{-1}(y)=y^{2} obtemos
H(x)=\sqrt{x}.

Passo 6

Verificação rápida pela fórmula da mudança de variável: se Y=\sqrt X então x=y^{2} e
g(y)=f\bigl(y^{2}\bigr)\,\frac{d}{dy}(y^{2}) =6\,y^{2}(1-y^{2})\cdot2y =12\,y^{3}(1-y^{2}),
como queríamos.

Resposta

\displaystyle H(x)=\sqrt{x}.

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