1. Uma variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por
    f(x)=\left\{\begin{array}{cl}20 x^{3}(1-x) & , \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 & , \text { se } x<0 \text { ou } x>1\end{array}\right.
    Calcule P\left(X \leq \frac{2}{3}\right).

Passo 1

O enunciado diz que X\) é contínua com densidade \[f(x)=\begin{cases} 20\,x^{3}(1-x),&0\le x\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede (P\bigl(X\le\tfrac{2}{3}\bigr)]. Sabemos que, para variável contínua,
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 2

Aplicando isso ao nosso caso, temos
P\Bigl(X\le\tfrac{2}{3}\Bigr) =\int_{0}^{2/3}20\,x^{3}(1-x)\,dx.

Passo 3

Para integrar, primeiro encontramos a antiderivada. Expandindo o integrando:
20\,x^{3}(1-x)=20\,x^{3}-20\,x^{4}.
Logo, uma primitiva é
F(x)=\int\bigl(20\,x^{3}-20\,x^{4}\bigr)\,dx =20\Bigl(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{5}}{5}\Bigr) =5\,x^{4}-4\,x^{5}.

Passo 4

Então
P\Bigl(X\le\tfrac{2}{3}\Bigr) =F\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)-F(0) =\Bigl(5\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{4}-4\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{5}\Bigr)-0.

Passo 5

Calculando os potências:
5\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{4}=5\cdot\frac{16}{81}=\frac{80}{81}, \quad 4\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{5}=4\cdot\frac{32}{243}=\frac{128}{243}.
Colocando sobre o mesmo denominador \,243:
\frac{80}{81}=\frac{240}{243},
portanto
P\Bigl(X\le\tfrac{2}{3}\Bigr) =\frac{240}{243}-\frac{128}{243} =\frac{112}{243}\approx0,461.

Resposta

\displaystyle \frac{112}{243}

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