Exercício 15. Mostre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases.

Passo 1

Beleza, temos um trapézio qualquer, cujas bases são as retas AB e CD, e queremos provar que o segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD é paralelo a essas bases. Isso cai em geometria plana (paralelismo e ponto médio). Para resolver sem pular nenhuma etapa, vamos usar coordenadas no plano e a fórmula do ponto médio:
– conteúdo necessário: sistema de coordenadas, definição de ponto médio e ideia de “reta paralela” (duas retas horizontais são paralelas).

Passo 2

Montando o cenário no plano:
  1. Posiciono a base AB no eixo x (reta horizontal em y=0). Então tomo
    A = (0, 0) e B = (b, 0), com b > 0.
  2. A base CD fica paralela a AB mas “lá em cima”, digamos em y = h (h > 0). Então tomo
    C = (c, h) e D = (d, h).
    Pronto, AB está em y=0 e CD em y=h, ambas horizontais.

Passo 3

Agora calculo os pontos médios das diagonais usando a fórmula
se P₁ = (x₁,y₁) e P₂ = (x₂,y₂),
ponto médio M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 ).
– Diagonal AC une A=(0,0) a C=(c,h), logo seu ponto médio E é
E = ( (0+c)/2 , (0+h)/2 ) = ( c/2 , h/2 ).
– Diagonal BD une B=(b,0) a D=(d,h), logo seu ponto médio F é
F = ( (b+d)/2 , (0+h)/2 ) = ( (b+d)/2 , h/2 ).

Passo 4

Repara que E e F têm a mesma coordenada y = h/2. Ou seja, ambos estão sobre a reta horizontal y = h/2. Qualquer segmento entre dois pontos de uma mesma reta horizontal é paralelo ao eixo x. Como AB e CD também são horizontais (y=0 e y=h), concluímos
EF ∥ eixo x ∥ AB ∥ CD.

Resposta

O segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases do trapézio.

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