Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Dadas duas matrizes
e
quadradas de mesma ordem, se
e
é invertível, então
.
Dadas duas matrizes
Passo 1
E aí! A questão diz: temos duas matrizes quadradas A e B (mesma ordem) e está afirmando que, se
e B é invertível, então A tem que ser a matriz zero. O assunto aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis e multiplicação. Pra resolver a gente vai usar:
- O que significa B invertível (existe
com ), - A associatividade na multiplicação de matrizes,
- E o fato de que qualquer coisa multiplicada pela matriz zero dá zero.
Passo 2
Como B é invertível, existe uma matriz
tal que
Agora, partindo de
, a gente multiplica dos dois lados por
à direita:
Passo 3
Usando a associatividade, agrupamos
:
Sabemos que
e que
. Logo
E como multiplicar por
não muda A, a gente chega em
Resposta
Verdadeiro. Demonstramos que, se
e B é invertível, então necessariamente
.