Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Dadas duas matrizes A e B quadradas de mesma ordem, se A B=0 e B é invertível, então A=0.

Passo 1

E aí! A questão diz: temos duas matrizes quadradas A e B (mesma ordem) e está afirmando que, se
AB = 0
e B é invertível, então A tem que ser a matriz zero. O assunto aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis e multiplicação. Pra resolver a gente vai usar:
  • O que significa B invertível (existe B^-1 com B,B^-1=I),
  • A associatividade na multiplicação de matrizes,
  • E o fato de que qualquer coisa multiplicada pela matriz zero dá zero.

Passo 2

Como B é invertível, existe uma matriz B^-1 tal que
B,B^-1 = In
Agora, partindo de AB = 0, a gente multiplica dos dois lados por B^-1 à direita:
A,B,B^-1 ;=; 0,B^-1

Passo 3

Usando a associatividade, agrupamos B,B^-1:
A,(B,B^-1) = 0
Sabemos que B,B^-1=In e que 0,B^-1=0. Logo
A,In = 0
E como multiplicar por In não muda A, a gente chega em
A = 0

Resposta

Verdadeiro. Demonstramos que, se AB=0 e B é invertível, então necessariamente A=0.

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