Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Para quaisquer .

Passo 1

Beleza, a questão é de Álgebra Linear e pergunta: “Verdadeiro ou falso? Para quaisquer vetores
u, v, w in R^3
distintos entre si, vale sempre
spanu,v,w = R^3,
?”
O que precisamos:
  • Entender o que é span (subespaço gerado).
  • Saber o que é independência linear e dimensão de um espaço vetorial.
  • Ligar isso à base de R^3,.

Passo 2

O que é spanu,v,w?
Por definição,
spanu,v,w = ,a,u + b,v + c,w mid a,b,c in R
Ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares desses três vetores. Se esse conjunto “cobre” todo o R^3, a gente diz que o span é R^3.

Passo 3

Independência linear e dimensão:
  • Um conjunto de vetores em R^3 gera o espaço todo só se for uma base.
  • Base significa: (1) gera o espaço (span = todo o espaço) e (2) é linearmente independente.
  • Em R^3, toda base tem exatamente 3 vetores que não podem ser escritos um em função dos outros.

Passo 4

Por que “distintos” não basta?
“Distintos” só diz que uneq vneq w, mas não garante que nenhum deles seja combinação dos outros. Se houver dependência linear, o span fica menor (reta ou plano), não todo R^3.

Passo 5

Contraexemplo prático:
Escolhe
u = (1,0,0), v = (2,0,0), w = (3,0,0)
Cada um é diferente, mas note que
v = 2,u, w = 3,u
Então qualquer combinação a,u + b,v + c,w = (a + 2b + 3c),(1,0,0) fica sempre na reta do eixo x. Logo
spanu,v,w = ,t,(1,0,0)mid tinRneq R^3

Resposta

Falso. Três vetores distintos podem ser linearmente dependentes e gerar só uma reta (ou um plano), não o R^3,.

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