Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Para quaisquer .
Para quaisquer .
Passo 1
Beleza, a questão é de Álgebra Linear e pergunta: “Verdadeiro ou falso? Para quaisquer vetores
distintos entre si, vale sempre
?”
O que precisamos:
O que precisamos:
- Entender o que é
(subespaço gerado). - Saber o que é independência linear e dimensão de um espaço vetorial.
- Ligar isso à base de
.
Passo 2
O que é
?
Por definição,
Por definição,
Ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares desses três vetores. Se esse conjunto “cobre” todo o
, a gente diz que o span é
.
Passo 3
Independência linear e dimensão:
- Um conjunto de vetores em
gera o espaço todo só se for uma base. - Base significa: (1) gera o espaço (span = todo o espaço) e (2) é linearmente independente.
- Em
, toda base tem exatamente 3 vetores que não podem ser escritos um em função dos outros.
Passo 4
Por que “distintos” não basta?
“Distintos” só diz que , mas não garante que nenhum deles seja combinação dos outros. Se houver dependência linear, o span fica menor (reta ou plano), não todo
.
“Distintos” só diz que
Passo 5
Contraexemplo prático:
Escolhe
Escolhe
Cada um é diferente, mas note que
Então qualquer combinação
fica sempre na reta do eixo
. Logo
Resposta
Falso. Três vetores distintos podem ser linearmente dependentes e gerar só uma reta (ou um plano), não o
.