( 3,0 pontos) Consideremos as matrizes
C=(ccc 1 & 2 & 3 1 & 4 & 7 -2 & 2 & 5 ) e D=(c 1 -1 -7 )
(a) Encontre a decomposição. L U da matriz C, c determinc a solução do sistema linear C X=D, resolvendo os sistemas triangulares L Y=D e U X=Y.
(b) Encontre, se existir, a inversa da matriz C.
(c) A partir de C^-1, resolva, de forma alternativa, o sistema linear C X=D.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai trabalhar com Álgebra Linear:
  • Conteúdo: decomposição LU, resolução de sistemas triangulares, inversa de matriz e uso de C^-1 para resolver sistemas.
  • O que temos:
C=1&2&31&4&7-2&2&5, D=1-1-7
  • O que se pede:
    (a) fatorar C=LU e resolver CX=D pelos sistemas LY=D e UX=Y.
    (b) achar C^-1.
    (c) usar C^-1 para resolver CX=D de outro jeito.

Passo 2

Decomposição LU:
Queremos C=L,U, com
L=1&0&0ell21&1&0ell31&ell32&1, U=u11&u12&u130&u22&u230&0&u33
  1. Na coluna 1, usamos u11=1.
    • ell21=a21/u11=1/1=1,
    • ell31=a31/u11=-2/1=-2.
      Eliminamos:
linha2to (1,4,7)-1cdot(1,2,3)=(0,2,4),
linha3to(-2,2,5)-(-2)cdot(1,2,3)=(0,6,11)
  1. Na coluna 2 do que sobrou, u22=2 e
ell32=62=3
Eliminamos:
(0,6,11)-3cdot(0,2,4)=(0,0,-1),
logo u33=-1.
Então
L=1&0&01&1&0-2&3&1, U=1&2&30&2&40&0&-1

Passo 3

Resolver L,Y=D por substituição direta (forward):
y1=1, 1cdot y1+1cdot y2=-1;Rightarrow;y2=-2, -2cdot y1+3cdot y2+1cdot y3=-7;Rightarrow;y3=1
Logo
Y=1-21

Passo 4

Resolver U,X=Y por retro‐substituição (backward):
-1cdot x3=1;Rightarrow;x3=-1, 2cdot x2+4cdot x3=-2;Rightarrow;2x2-4=-2;Rightarrow;x2=1, 1cdot x1+2cdot x2+3cdot x3=1;Rightarrow;x1+2-3=1;Rightarrow;x1=2
Então
X=21-1

Passo 5

Calcular C^-1 usando
C^-1=1det C,adj(C),det C=1cdot2cdot(-1)=-2
Os cofatores dão a matriz adjunta
adj(C)= 6&-4&2-19&11&-410&-6&2,
logo
C^-1=-tfrac12 6&-4&2-19&11&-410&-6&2 =-3&2&-1tfrac192&-tfrac112&2-5&3&-1

Passo 6

Resolver C,X=D via X=C^-1D:
X=-3&2&-1tfrac192&-tfrac112&2-5&3&-1 1-1-7 =21-1

Resposta

(a) L=1&0&01&1&0-2&3&1,; U=1&2&30&2&40&0&-1,; X=(2,1,-1)^T
(b) C^-1=-3&2&-1tfrac192&-tfrac112&2-5&3&-1
(c) Usando C^-1 também dá X=(2,1,-1)^T,.

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