Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\cos x>\sqrt{3} / 2.

Passo 1

O enunciado pede: resolver a inequação trigonométrica \cos x>\sqrt{3}/2 no intervalo [0,2\pi].
Informações dadas: o lado esquerdo é a função \cos x; o lado direito é o número \sqrt{3}/2 (aproximadamente 0,866). O domínio em que devemos encontrar as soluções é [0,2\pi].

Passo 2

Entendendo o que significa \cos x>\sqrt{3}/2. Vou explicar a ideia geometricamente e de forma prática para você usar na prova. A função \cos x em [0,2\pi] descreve a abscissa (x‑coordenada) de um ponto que percorre o círculo unitário. Essa função varia entre -1 e 1. O valor \sqrt{3}/2 é positivo e fica bem perto de 1 (mais precisamente \sqrt{3}/2\approx0,866). Então \cos x>\sqrt{3}/2 significa: encontrar os ângulos cujas abscissas no círculo unitário são maiores que 0,866; ou seja, ângulos próximos de 0 (sentido horário e anti‑horário) onde o coseno é alto.

Passo 3

Primeiro encontro os ângulos em que ocorre igualdade \cos x=\sqrt{3}/2. Para isso uso a função arco cosseno (ou conhecimentos de ângulos notáveis). Sabemos que
\operatorname{arccos}\!\bigl(\sqrt{3}/2\bigr)=\pi/6.
A solução geral da equação \cos x=\sqrt{3}/2 é
x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0,2\pi] isso fornece os dois valores
x=\frac{\pi}{6}\quad\text{e}\quad x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.
Observação: peguei esses dois pontos porque o enunciado pede soluções dentro do intervalo dado.

Passo 4

Agora raciocinamos onde \cos x é maior que \sqrt{3}/2. Pense assim: no círculo, entre os dois ângulos onde \cos x=\sqrt{3}/2 existe a região central (em torno de 0 ou 2\pi) onde a abscissa é maior que \sqrt{3}/2. Formalmente, a desigualdade \cos x>\sqrt{3}/2 corresponde ao conjunto
x\in\bigl(-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\bigr)+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque para ângulos entre -\pi/6 e +\pi/6 o cosseno é maior que \sqrt{3}/2 (no centro do círculo, onde a abscissa é maior). Essa é a forma padrão: entre as duas soluções da igualdade, a região central tem cosseno maior que o valor positivo.

Passo 5

Agora adapto para o intervalo pedido [0,2\pi]. A classe \bigl(-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\bigr)+2k\pi intercepta [0,2\pi] em duas partes:
  • Da esquerda, o intervalo parte de 0 até \pi/6, mas -\pi/6<0, então na porção dentro de [0,2\pi] temos [0,\pi/6). Note que x=0 satisfaz \cos0=1>\sqrt{3}/2, então 0 é incluído; já em x=\pi/6 temos igualdade \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2, e a desigualdade é estrita, então \pi/6 é excluído.
  • Da direita, a parte equivalente ao intervalo perto de 2\pi é (2\pi-\pi/6,2\pi], isto é (11\pi/6,2\pi]. Novamente x=2\pi satisfaz \cos(2\pi)=1>\sqrt{3}/2 e é incluído; x=11\pi/6 dá igualdade e é excluído.

Passo 6

Conferência rápida com exemplos para você ganhar confiança: escolher x=\pi/12 (que está em [0,\pi/6)) dá \cos(\pi/12)\approx0,966>\!0,866, então está correto. Escolher x=\pi/2 \cos(\pi/2)=0 que não satisfaz a desigualdade. Tudo consistente.

Resposta

[0,\tfrac{\pi}{6})\cup\bigl(\tfrac{11\pi}{6},2\pi\bigr]

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