Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a inequação trigonométrica
no intervalo
.
Informações dadas: o lado esquerdo é a função ; o lado direito é o número
(aproximadamente
). O domínio em que devemos encontrar as soluções é
.
Informações dadas: o lado esquerdo é a função
Passo 2
Entendendo o que significa
. Vou explicar a ideia geometricamente e de forma prática para você usar na prova. A função
em
descreve a abscissa (x‑coordenada) de um ponto que percorre o círculo unitário. Essa função varia entre
e
. O valor
é positivo e fica bem perto de
(mais precisamente
). Então
significa: encontrar os ângulos cujas abscissas no círculo unitário são maiores que
; ou seja, ângulos próximos de
(sentido horário e anti‑horário) onde o coseno é alto.
Passo 3
Primeiro encontro os ângulos em que ocorre igualdade
. Para isso uso a função arco cosseno (ou conhecimentos de ângulos notáveis). Sabemos que
A solução geral da equação
é
No intervalo
isso fornece os dois valores
Observação: peguei esses dois pontos porque o enunciado pede soluções dentro do intervalo dado.
Passo 4
Agora raciocinamos onde
é maior que
. Pense assim: no círculo, entre os dois ângulos onde
existe a região central (em torno de
ou
) onde a abscissa é maior que
. Formalmente, a desigualdade
corresponde ao conjunto
porque para ângulos entre
e
o cosseno é maior que
(no centro do círculo, onde a abscissa é maior). Essa é a forma padrão: entre as duas soluções da igualdade, a região central tem cosseno maior que o valor positivo.
Passo 5
Agora adapto para o intervalo pedido
. A classe
intercepta
em duas partes:
- Da esquerda, o intervalo parte de
até , mas , então na porção dentro de temos . Note que satisfaz , então é incluído; já em temos igualdade , e a desigualdade é estrita, então é excluído. - Da direita, a parte equivalente ao intervalo perto de
é , isto é . Novamente satisfaz e é incluído; dá igualdade e é excluído.
Passo 6
Conferência rápida com exemplos para você ganhar confiança: escolher
(que está em
) dá
, então está correto. Escolher
dá
que não satisfaz a desigualdade. Tudo consistente.