Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\operatorname{sen} x \geq-\sqrt{2} / 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica no intervalo fechado 0 \leq x \leq 2\pi:
\operatorname{sen} x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função envolvida é \operatorname{sen} x.
  • O valor com o qual comparamos é -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • O domínio em que devemos encontrar as soluções é o intervalo [0,2\pi].
  • Precisamos listar todos os x nesse intervalo que satisfazem a desigualdade (incluindo os pontos onde há igualdade).

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos onde há igualdade, isto é, resolvemos a equação
\operatorname{sen} x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Explicação didática: -\dfrac{\sqrt{2}}{2} é o mesmo valor absoluto que \dfrac{\sqrt{2}}{2}, que corresponde ao seno do ângulo de referência \dfrac{\pi}{4}. Para achar onde o seno é negativo igual a esse valor, procuramos ângulos com referência \dfrac{\pi}{4} nas quadrantes onde o seno é negativo (III e IV quadrantes). Assim:
  • No terceiro quadrante o ângulo correspondente é
x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
  • No quarto quadrante o ângulo correspondente é
x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.
Portanto, pegamos da equação os pontos x=\dfrac{5\pi}{4} e x=\dfrac{7\pi}{4} (ambos pertencem a [0,2\pi]).

Passo 3

Agora vamos entender em quais intervalos a desigualdade \operatorname{sen} x \geq -\dfrac{\sqrt{2}}{2} é verdadeira. Dica prática e visual: a função \operatorname{sen} x é contínua e, no intervalo [0,2\pi], atinge valores de 1 até -1. Os pontos onde \operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} dividem o intervalo em três partes:
[0,\tfrac{5\pi}{4}),\quad \{\tfrac{5\pi}{4}\},\quad (\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}),\quad \{\tfrac{7\pi}{4}\},\quad (\tfrac{7\pi}{4},2\pi].
Para saber em quais dessas partes a desigualdade segura, basta testar um ponto em cada região (ou pensar no comportamento do seno). Vamos testar a região entre \tfrac{5\pi}{4} e \tfrac{7\pi}{4}: um ponto simples é x=\tfrac{3\pi}{2}. Calculamos
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = -1.
Como -1 < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, a desigualdade é falsa para x=\tfrac{3\pi}{2}. Como \operatorname{sen} x é contínua, isso mostra que em todo o intervalo aberto \left(\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}\right) temos \operatorname{sen} x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Nas regiões fora desse intervalo, o seno é maior que -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Além disso, nos pontos x=\tfrac{5\pi}{4} e x=\tfrac{7\pi}{4} a igualdade ocorre, então esses pontos pertencem à solução por causa do sinal \geq.

Passo 4

Concluímos que a solução da inequação no intervalo [0,2\pi] é todo o intervalo menos o trecho onde a função fica abaixo de -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ou seja:
\left[0,\frac{5\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right].
Posso também verificar rapidamente alguns pontos para confirmar: x=0 \operatorname{sen} 0=0\ge -\dfrac{\sqrt{2}}{2} (ok); x=\pi \operatorname{sen}\pi=0 (ok); x=2\pi \operatorname{sen} 2\pi=0 (ok); e já vimos x=\tfrac{3\pi}{2} -1 (não ok). Tudo consistente.

Resposta

\left[0,\dfrac{5\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right]

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