Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica no intervalo fechado
:
Informações relevantes dadas:
- A função envolvida é
. - O valor com o qual comparamos é
. - O domínio em que devemos encontrar as soluções é o intervalo
. - Precisamos listar todos os
nesse intervalo que satisfazem a desigualdade (incluindo os pontos onde há igualdade).
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos onde há igualdade, isto é, resolvemos a equação
Explicação didática:
é o mesmo valor absoluto que
, que corresponde ao seno do ângulo de referência
. Para achar onde o seno é negativo igual a esse valor, procuramos ângulos com referência
nas quadrantes onde o seno é negativo (III e IV quadrantes). Assim:
- No terceiro quadrante o ângulo correspondente é
- No quarto quadrante o ângulo correspondente é
Portanto, pegamos da equação os pontos
e
(ambos pertencem a
).
Passo 3
Agora vamos entender em quais intervalos a desigualdade
é verdadeira. Dica prática e visual: a função
é contínua e, no intervalo
, atinge valores de
até
. Os pontos onde
dividem o intervalo em três partes:
Para saber em quais dessas partes a desigualdade segura, basta testar um ponto em cada região (ou pensar no comportamento do seno). Vamos testar a região entre
e
: um ponto simples é
. Calculamos
Como
, a desigualdade é falsa para
. Como
é contínua, isso mostra que em todo o intervalo aberto
temos
. Nas regiões fora desse intervalo, o seno é maior que
. Além disso, nos pontos
e
a igualdade ocorre, então esses pontos pertencem à solução por causa do sinal
.
Passo 4
Concluímos que a solução da inequação no intervalo
é todo o intervalo menos o trecho onde a função fica abaixo de
, ou seja:
Posso também verificar rapidamente alguns pontos para confirmar:
dá
(ok);
dá
(ok);
dá
(ok); e já vimos
dá
(não ok). Tudo consistente.