• Exercício 17: Resolva o sistema linear 4 times 4 abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel (com 3 iterações):
5 x+y+z+w=10
x+4 y+z+w=12
x+y+3 z+w=14
x+y+z+2 w=16
  • Analise a convergência do método para este sistema.
  • Varie as condições iniciais e avalie o impacto nas iterações.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
5x + y + z + w = 10, x + 4y + z + w = 12, x + y + 3z + w = 14, x + y + z + 2w = 16
pelo método de Gauss–Seidel (três iterações) e depois analisar a convergência e o efeito de diferentes condições iniciais. Vamos usar a forma iterativa de Gauss–Seidel, em que cada variável na iteração (k+1) usa imediatamente os valores já calculados na mesma iteração.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas de atualização de Gauss–Seidel para este sistema:
x^(k+1) ;=;10 - y^(k) - z^(k) - w^(k)5, y^(k+1) ;=;12 - x^(k+1) - z^(k) - w^(k)4,
z^(k+1) ;=;14 - x^(k+1) - y^(k+1) - w^(k)3, w^(k+1) ;=;16 - x^(k+1) - y^(k+1) - z^(k+1)2

Passo 3

Tomando a condição inicial l(x^(0),y^(0),z^(0),w^(0)r)=(0,0,0,0), aplicamos três iterações:
Iteração k=0to1:
x^(1)=10-0-0-05=2, y^(1)=12-2-0-04=2,5,
z^(1)=14-2-2,5-03=3,1667, w^(1)=16-2-2,5-3,16672=4,1667
Iteração k=1to2:
x^(2)=10-2,5-3,1667-4,16675=0,0333, y^(2)=12-0,0333-3,1667-4,16674=1,1583,
z^(2)=14-0,0333-1,1583-4,16673=2,8806, w^(2)=16-0,0333-1,1583-2,88062=5,9639
Iteração k=2to3:
x^(3)=10-1,1583-2,8806-5,96395=-0,0006, y^(3)=12-(-0,0006)-2,8806-5,96394=0,7890,
z^(3)=14-(-0,0006)-0,7890-5,96393=2,4158, w^(3)=16-(-0,0006)-0,7890-2,41582=6,3977

Passo 4

Para analisar a convergência, observamos que a matriz dos coeficientes
A = 5 & 1 & 1 & 1 1 & 4 & 1 & 1 1 & 1 & 3 & 1 1 & 1 & 1 & 2
é simétrica e os seus menores principais são todos positivos (logo A é definida positiva). Isso garante que o método de Gauss–Seidel converge para a solução exata independente da condição inicial.

Passo 5

Se mudarmos a condição inicial, por exemplo para l(1,1,1,1r), a trajetória das iterações muda, mas o método ainda converge ao mesmo ponto. Na primeira iteração com esse vetor teríamos:
x^(1)=1,4, y^(1)=2,15, z^(1)=3,15, w^(1)=4,65,
diferenças no caminho, mas a convergência a curto prazo se mantém e o limite é o mesmo.

Resposta

Após três iterações com (0,0,0,0) obtemos
l(x^(3),y^(3),z^(3),w^(3)r)approx(-0,0006,;0,7890,;2,4158,;6,3977)
O método converge porque A é simétrica definida positiva, e a escolha da condição inicial só altera a trajetória, não a convergência ao mesmo ponto.

Exercícios relacionados