Exercício 17: Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel (com 3 iterações):
Analise a convergência do método para este sistema.
Varie as condições iniciais e avalie o impacto nas iterações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear
pelo método de Gauss–Seidel (três iterações) e depois analisar a convergência e o efeito de diferentes condições iniciais. Vamos usar a forma iterativa de Gauss–Seidel, em que cada variável na iteração (k+1) usa imediatamente os valores já calculados na mesma iteração.
Passo 2
Escrevemos as fórmulas de atualização de Gauss–Seidel para este sistema:
é simétrica e os seus menores principais são todos positivos (logo A é definida positiva). Isso garante que o método de Gauss–Seidel converge para a solução exata independente da condição inicial.
Passo 5
Se mudarmos a condição inicial, por exemplo para l(1,1,1,1r), a trajetória das iterações muda, mas o método ainda converge ao mesmo ponto. Na primeira iteração com esse vetor teríamos:
x^(1)=1,4, y^(1)=2,15, z^(1)=3,15, w^(1)=4,65,
diferenças no caminho, mas a convergência a curto prazo se mantém e o limite é o mesmo.