Exercício 15 (Retas e planos) Considere-se fixado um sistema ortonormal ( O ; imath, jmath, k ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
15.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(0;4;1), B(1;3;0) e C(2;-1;-2) no espaço. Para mostrar que eles não são alinhados, basta verificar que os vetores AB e AC não são proporcionais, pois três pontos são colineares exatamente quando os vetores que os ligam partindo de um mesmo ponto são lineares dependentes.

Passo 2

Calcular os vetores
AB = B - A = (1-0,;3-4,;0-1) = (1,,-1,,-1),
AC = C - A = (2-0,;-1-4,;-2-1) = (2,,-5,,-3)

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista lambda tal que
AB = lambda,AC
Isso implicaria o sistema
1 = 2lambda, -1 = -5lambda, -1 = -3lambda,
ou seja,
lambda = tfrac12, lambda = tfrac15, lambda = tfrac13,
o que é impossível porque tfrac12neqtfrac15neqtfrac13.

Passo 4

Como não há escalar lambda que satisfaça simultaneamente todas as igualdades, concluímos que AB e AC não são proporcionais. Logo, os pontos A, B e C não são colineares.

Resposta

Os pontos A, B e C não são alinhados.

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