Exercício 9 (Combinação linear) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath ). Considerem-se os pontos A, B, C, R, S, T. Note-se que o segmento [A C] está dividido em três partes congruentes; e o segmento [B C] está dividido em cinco partes congruentes.
9.2 Escrever o vetor A T como combinação linear dos vetores A R e B C.

Passo 1

O enunciado considera o triângulo ABC e define dois pontos internos: R em AC tal que AR é um terço de AC e S em BC tal que BS é um quinto de BC. A seguir, traça-se por R uma reta paralela a BC e por S uma reta paralela a AC, que se cruzam em T. O objetivo é escrever A T como combinação linear de A R e B C. Para isso, vamos usar coordenadas vetoriais e a condição de paralelismo.

Passo 2

Escolhendo A como origem dos vetores, seja
vec b = A B, vec c = A C
Então
A R = tfrac13,vec c e B S = tfrac15l(vec c-vec br)
Logo
A S = A B + B S = vec b + tfrac15(vec c-vec b) = tfrac45,vec b + tfrac15,vec c

Passo 3

Pela paralelidade R Tparal<=l B C e S Tparal<=l A C, existem escalares t e s tais que
R T = t,(vec c-vec b), S T = s,vec c
Como T é o mesmo ponto, temos
A R + R T = A S + S T
Substituindo as expressões:
tfrac13,vec c + t(vec c-vec b) = tfrac45,vec b + tfrac15,vec c + s,vec c

Passo 4

Comparando coeficientes de vec b e de vec c na igualdade acima:
coeficiente de vec b: -t=tfrac45 Rightarrow t=-tfrac45.
Não precisamos de s para obter A T.

Passo 5

Finalmente,
A T = A R + R T = A R + t,B C = A R - tfrac45,B C

Resposta

A T = A R - tfrac45,B C

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