Exercício 15 (Retas e planos) Considere-se fixado um sistema ortonormal ( O ; imath, jmath, k ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
15.2 Determinar uma representação paramétrica do plano (ABC).

Passo 1

O enunciado pede a representação paramétrica do plano determinado pelos pontos A(0,4,1), B(1,3,0) e C(2,-1,-2). Em geometria analítica, um plano pode ser dado por um ponto P0 e dois vetores diretores não colineares vec u e vec v, na forma
vec r(s,t)=OP0+s,vec u+t,vec v, s,tinR

Passo 2

Escolhemos P0=A. Calculamos os vetores que ligam A a B e A a C:
AB=B-A=(1-0,;3-4,;0-1)=(1,,-1,,-1),
AC=C-A=(2-0,;-1-4,;-2-1)=(2,,-5,,-3)

Passo 3

Verificamos que AB e AC não são múltiplos escalares um do outro (por exemplo, não existe lambda tal que (1,-1,-1)=lambda(2,-5,-3)). Logo são linearmente independentes e servem como vetores diretores do plano.

Passo 4

Montamos a representação paramétrica usando A como ponto de apoio e AB, AC como diretores. Com parâmetros s,tinR:
vec r(s,t) =OA+s,AB+t,AC =(0,4,1)+s,(1,-1,-1)+t,(2,-5,-3)
Em coordenadas, isso equivale a
x(s,t)=0+1cdot s+2cdot t=s+2t, y(s,t)=4+(-1)cdot s+(-5)cdot t=4 - s -5t, z(s,t)=1+(-1)cdot s+(-3)cdot t=1 - s -3t

Resposta

(x,y,z)=(0,4,1)+s,(1,-1,-1)+t,(2,-5,-3), s,tinR

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