Exercício 18 (Cubo) Considere-se fixado um sistema de coordenadas ortonormais ( O ; imath, jmath, k ). Considere-se nesse sistema um cubo A B C D E F G H. Denote-se por M o ponto médio do segmento [E H]; por N o ponto médio do segmento [F C] e por P o ponto tal que H P=14 H G.
18.4 Determinar a interseção do plano ( M N P ) com o cubo ABCDEFGH.

Passo 1

Vamos trabalhar no sistema ortonormal em que
A=(0,0,0),;B=(1,0,0),;C=(1,1,0),;D=(0,1,0),
E=(0,0,1),;F=(1,0,1),;G=(1,1,1),;H=(0,1,1)
O objetivo é achar o polígono P=l(plano MNPr)capl(cubo ABCDEFGHr).

Passo 2

Calculamos as coordenadas de M, N e P:
M é ponto médio de [EH], logo
M=E+H2=l(0,tfrac12,1r)
N é ponto médio de [FC], logo
N=F+C2=l(1,tfrac12,tfrac12r)
P satisfaz HP=tfrac14HG, e HG=(1,0,0), então
P=H+tfrac14(1,0,0)=l(tfrac14,1,1r)

Passo 3

Determinamos a equação do plano que passa por M,N,P.
Vetores no plano:
MN=l(1,0,-tfrac12r), MP=l(tfrac14,tfrac12,0r)
O produto vetorial fornece a normal
n=MNtimesMP =(tfrac14,-tfrac18,tfrac12)sim(2,-1,4)
Logo a equação é
2x - y + 4z + d=0
Como (x,y,z)=M satisfaz,
2cdot0 -tfrac12 +4cdot1 + d=0 ;Longrightarrow;d=-tfrac72,
e multiplicando por 2 obtemos a forma mais simples
4x - 2y + 8z = 7

Passo 4

Procuramos as interseções do plano com arestas do cubo, usando parametrações tin[0,1]:
  1. Aresta AEcolon (0,0,t).
    ;4cdot0 -2cdot0 +8t=7implies t=tfrac78.
    Ponto X=(0,0,tfrac78).
  2. Aresta BFcolon (1,0,t).
    ;4cdot1 -2cdot0 +8t=7implies t=tfrac38.
    Ponto Y=(1,0,tfrac38).
  3. Aresta CGcolon (1,1,t).
    ;4cdot1 -2cdot1 +8t=7implies t=tfrac58.
    Ponto Z=(1,1,tfrac58).
  4. Aresta GHcolon (1-t,1,1).
    ;4(1-t)-2cdot1+8cdot1=7implies t=tfrac34.
    Ponto P (conferido).
  5. Aresta HEcolon (0,1-t,1).
    ;-2(1-t)+8cdot1=7implies t=tfrac12.
    Ponto M (conferido).
As outras arestas não intersectam o plano dentro de tin[0,1].

Passo 5

O polígono de interseção é o polígono convexo de vértices, na ordem circular,
X=(0,0,tfrac78),; Y=(1,0,tfrac38),; Z=(1,1,tfrac58),; P=(tfrac14,1,1),; M=(0,tfrac12,1)

Resposta

O plano (MNP) corta o cubo em um pentágono convexo cujos vértices, seguindo a ordem ao redor, são
l(0,0,tfrac78r),; l(1,0,tfrac38r),; l(1,1,tfrac58r),; l(tfrac14,1,1r),; l(0,tfrac12,1r)

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