Exercicio 17. Seja f uma função definida no plano todo tal que f(x, y)=sen(x^2+y^2)(x^2+y^2) quando (x, y) neq(0,0). Quanto deve valer f(0,0) para que f seja contínua na origem?
Resp: 0

Passo 1

O enunciado define a função
e pede para escolher o valor de contínua na origem. O conteúdo aqui é cálculo de limite em duas variáveis, que faremos usando coordenadas polares e a conhecida

Passo 2

Em coordenadas polares, escrevemos x=rcostheta e y=rsintheta, de modo que
x^2+y^2=r^2,
logo para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,y)=sen(r^2)r^2
Quando (x,y)to(0,0), isto é, rto0, fazemos a mudança t=r^2. Como tto0 sempre que rto0, fica
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =limrto0sen(r^2)r^2 =limtto0sen tt =1

Passo 3

Para que f seja contínua na origem, devemos definir
f(0,0)=lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1

Resposta

f(0,0)=1.

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