Exercicio 16. Seja se ou se e se .
a) Prove que quando ao longo de qualquer reta passando pela origem.
b) Determine uma curva passando pela origem ao longo da qual (exceto na origem) tome o valor constante 1.
c) é contínua na origem?
Resp:
a)
b) .
c) Não.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
– em (a) mostrar que ao longo de qualquer reta passando pela origem temos f(x,y)to0 quando (x,y)to(0,0);
– em (b) encontrar uma curva por onde f(x,y)=1 (exceto na origem);
– em (c) decidir se f é contínua na origem.
Passo 2
Considere uma reta não vertical parametrizada por
(x,y)=(t,,m,t), tto0
Caso m<=0, então y=m,t<=0 para todo t, logo por definição f(t,m t)=0.
Caso m>0, escolhemos de<a=m. Se 0<t<de<a então
y=m,t>= t^2 Longrightarrow y>= x^2,
e de novo f(t,m t)=0. Para t<0 vale y<0 e também f=0. Assim, em toda reta y=mx existe vizinhança de 0 onde f=0, o que garante
limtto0fl(t,m tr)=0
Se a reta for vertical x=0, então em (0,t) temos x^2=0 e para tne0 seja t>0 ou t<0, sempre y>= x^2 ou y<=0, logo f(0,t)=0. Assim também limtto0f(0,t)=0.
Passo 3
Agora buscamos uma curva não linear passando pela origem em que 0<y<x^2. Basta escolher, por exemplo,
y=x^22
Para todo xne0 temos 0<tfracx^22<x^2, portanto em pontos (x,tfracx^22) com xne0 vale f=1.
Passo 4
Como pelo conjunto de retas o valor de f tende a 0 mas ao longo da parábola y=tfracx^22 (exceto na origem) f=1, o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) depende da curva. Logo fnão é contínua na origem.
Resposta
a) Para toda reta passando pela origem lim f=0.
b) Uma escolha é y=tfracx^22, pois aí f(x,y)=1 para xne0.
c) Não; f não é contínua na origem.