Exercicio 16. Seja f(x, y)=0 se y <= 0 ou se y >= x^2 e f(x, y)=1 se 0<y<x^2.
a) Prove que f(x, y) 0 quando (x, y) (0,0) ao longo de qualquer reta passando pela origem.
b) Determine uma curva passando pela origem ao longo da qual (exceto na origem) f(x, y) tome o valor constante 1.
c) f é contínua na origem?

Resp:

a)
b) y=x^22.
c) Não.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 0,&y<=0 ou y>= x^2, 1,&0<y<x^2,
e pede:
– em (a) mostrar que ao longo de qualquer reta passando pela origem temos f(x,y)to0 quando (x,y)to(0,0);
– em (b) encontrar uma curva por onde f(x,y)=1 (exceto na origem);
– em (c) decidir se f é contínua na origem.

Passo 2

Considere uma reta não vertical parametrizada por
(x,y)=(t,,m,t), tto0
Caso m<=0, então y=m,t<=0 para todo t, logo por definição f(t,m t)=0.
Caso m>0, escolhemos de<a=m. Se 0<t<de<a então
y=m,t>= t^2 Longrightarrow y>= x^2,
e de novo f(t,m t)=0. Para t<0 vale y<0 e também f=0. Assim, em toda reta y=mx existe vizinhança de 0 onde f=0, o que garante
limtto0fl(t,m tr)=0
Se a reta for vertical x=0, então em (0,t) temos x^2=0 e para tne0 seja t>0 ou t<0, sempre y>= x^2 ou y<=0, logo f(0,t)=0. Assim também limtto0f(0,t)=0.

Passo 3

Agora buscamos uma curva não linear passando pela origem em que 0<y<x^2. Basta escolher, por exemplo,
y=x^22
Para todo xne0 temos 0<tfracx^22<x^2, portanto em pontos (x,tfracx^22) com xne0 vale f=1.

Passo 4

Como pelo conjunto de retas o valor de f tende a 0 mas ao longo da parábola y=tfracx^22 (exceto na origem) f=1, o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) depende da curva. Logo f não é contínua na origem.

Resposta

a) Para toda reta passando pela origem lim f=0.
b) Uma escolha é y=tfracx^22, pois aí f(x,y)=1 para xne0.
c) Não; f não é contínua na origem.

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