Exercício 15. Seja um espaço vetorial real de dimensão e o seu espaço dual. Dado um vetor e um funcional linear (também dito um covetor) , definimos a transformação linear por
(i) Para e , prove que tem posto um, isto é, .
(ii) Fixada uma base de e sua base dual, escrevemos
Mostre que a representação matricial de na base tem entradas .
(iii) Mostre que .
(iv) Para cada e , prove que é diagonalizável. Além disso, determine uma base de autovetores e a matriz diagonal associada.
Dica: Olhar para Nuc e algum subespaço complementar.
(v) Dada uma transformação linear qualquer , mostre que
onde os coeficientes são as entradas da matriz associada à transformação na base . Além disso, prove que
Utilizamos notação e, pelo último item acima, temos que . Convêm mencionar que, mais adiante no curso, a notação tensorial é utilizada de maneira ligeiramente diferente, pois o espaço tensorial é introduzido a partir de uma “propriedade universal”, a ser discutida no momento oportuno. No entanto, mesmo sem explicitar esta outra construção aqui neste exercício, adiantamos que a identificação
dada por
define um isomorfismo canônico. A identificação canônica acima é justamente a motivação da definição (5).
Passo 1
O exercício trata do operador de posto um definido por
onde é um espaço vetorial real de dimensão , e . Precisamos mostrar:
Para e , .
Na base de e base dual , as entradas da matriz de são .
.
é diagonalizável (quando ), e encontrar base de autovetores e a forma diagonal.
Qualquer se escreve como , mostrando que estes tensores geram todo .
Passo 2
Mostramos que . Como e , existe tal que , logo é a reta não-trivial gerada por . Assim
ou seja, o posto do operador é .
Passo 3
Na base escrevemos
em que . Para cada ,
Isto mostra que a -ésima coluna da matriz de é , ou seja,
Passo 4
A traça de um operador é a soma de suas entradas diagonais. Da fórmula , vem
Passo 5
Suponha agora . Então é um autovalor com autovetor , pois
Além disso, todo satisfaz , logo é autovalor de multiplicidade . Temos a soma direta
e em qualquer base que comece por seguida de uma base de , a matriz de fica
que é diagonal. Assim é diagonalizável sempre que .
Passo 6
Dada uma transformação qualquer Tin L(V;V) e escrevendo
[T] B=(aij)i,j=1^d,
temos T(ej)=sumiaijei. Mas
sumi,j=1^d aij,(eiotimes d xj)(ek) =sumi,jaij, d xj(ek),ei =sumi aik,ei =T(ek),
para todo k. Como os dois lados são lineares e coincidem na base,
T=sumi,j=1^d aij,eiotimes d xj
Isto mostra também que eiotimes d xji,j gera todo L(V;V).
Resposta
(i) rank(votimesell)=1.
(ii) (votimesell)ij=vi,ellj.
(iii) tr(votimesell)=ell(v).
(iv) Se ell(v)neq0, votimesell tem autovalores ell(v) (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade d-1) e é diagonalizável na base vcup(base de kerell), com matriz diag(ell(v),0,dots,0).
(v) Para qualquer Tin L(V;V) com matriz (aij),
T=sumi,j=1^d aij,eiotimes d xj,
logo eiotimes d xj é um sistema gerador de L(V;V).