Exercício 15. Seja V um espaço vetorial real de dimensão d e V^* o seu espaço dual. Dado um vetor v in V e um funcional linear (também dito um covetor) ell in V^*, definimos a transformação linear v otimes ell: V longrightarrow V por
(v otimes ell)(x):=ell(x) v
(i) Para v neq 0 e ell neq 0, prove que v otimes ell in L(V ; V) tem posto um, isto é, dim Im(v otimes ell)=1.
(ii) Fixada uma base B=e1, e2, ldots, ed de V e B^*=d x1, d x2, ldots, d xd sua base dual, escrevemos
v=sumi=1^d vi ei e ell=sumj=1^d ellj d xj
Mostre que a representação matricial de v otimes ell na base B tem entradas (v otimes ell)i j=vi ellj.
(iii) Mostre que tr(v otimes ell)=ell(v).
(iv) Para cada v neq 0 e ell neq 0, prove que v otimes ell é diagonalizável. Além disso, determine uma base de autovetores e a matriz diagonal associada.
Dica: Olhar para Nuc ell e algum subespaço complementar.
(v) Dada uma transformação linear qualquer T in L(V ; V), mostre que
T=sumi, j=1^d ai j ei otimes ellj
onde os coeficientes ai j in R são as entradas da matriz [T]B associada à transformação T na base B. Além disso, prove que
L(V ; V)=Gerei otimes ellj ; i, j in1,2, ldots, d
Utilizamos notação V otimes V^*:=Gerv otimes ell ; v in V, ell in V^* e, pelo último item acima, temos que V otimes V^*=L(V ; V). Convêm mencionar que, mais adiante no curso, a notação tensorial é utilizada de maneira ligeiramente diferente, pois o espaço tensorial V otimes V^* é introduzido a partir de uma “propriedade universal”, a ser discutida no momento oportuno. No entanto, mesmo sem explicitar esta outra construção aqui neste exercício, adiantamos que a identificação
Phi: V otimes V^* & longrightarrow L(V ; V) v otimes ell & longmapsto Phi(v otimes ell)
dada por
Phi(v otimes ell)(x):=ell(x) v
define um isomorfismo canônico. A identificação canônica acima é justamente a motivação da definição (5).

Passo 1

O exercício trata do operador de posto um definido por
(votimesell)(x)=ell(x),v,
onde V é um espaço vetorial real de dimensão d, vin V e ellin V^*. Precisamos mostrar:
  1. Para vneq0 e ellneq0, rank(votimesell)=1.
  2. Na base ei de V e base dual d xj, as entradas da matriz de votimesell são (votimesell)ij=vi,ellj.
  3. tr(votimesell)=ell(v).
  4. votimesell é diagonalizável (quando ell(v)neq0), e encontrar base de autovetores e a forma diagonal.
  5. Qualquer Tin L(V;V) se escreve como sumi,jaij,eiotimes d xj, mostrando que estes tensores geram todo L(V;V).

Passo 2

Mostramos que Im(votimesell)=ell(x)v:xin V=spanv. Como vneq0 e ellneq0, existe x tal que ell(x)neq0, logo Im(votimesell) é a reta não-trivial gerada por v. Assim
dimIm(votimesell)=1,
ou seja, o posto do operador é 1.

Passo 3

Na base e1,dots,ed escrevemos
v=sumi=1^d vi ei, ell=sumj=1^dellj, d xj,
em que ellj=ell(ej). Para cada j,
(votimesell)(ej)=ell(ej),v=elljsumi=1^d vi ei =sumi=1^d (vi,ellj),ei
Isto mostra que a j-ésima coluna da matriz de votimesell é l(v1ellj,dots,vdelljr)^T, ou seja,
(votimesell)ij=vi,ellj

Passo 4

A traça de um operador é a soma de suas entradas diagonais. Da fórmula (votimesell)ii=vi,elli, vem
tr(votimesell) =sumi=1^d vi,elli =ell!l(sumi vi eir) =ell(v)

Passo 5

Suponha agora . Então é um autovalor com autovetor , pois
Além disso, todo satisfaz , logo é autovalor de multiplicidade . Temos a soma direta
e em qualquer base que comece por seguida de uma base de , a matriz de fica
que é diagonal. Assim é diagonalizável sempre que .

Passo 6

Dada uma transformação qualquer Tin L(V;V) e escrevendo
[T] B=(aij)i,j=1^d,
temos T(ej)=sumiaijei. Mas
sumi,j=1^d aij,(eiotimes d xj)(ek) =sumi,jaij, d xj(ek),ei =sumi aik,ei =T(ek),
para todo k. Como os dois lados são lineares e coincidem na base,
T=sumi,j=1^d aij,eiotimes d xj
Isto mostra também que eiotimes d xji,j gera todo L(V;V).

Resposta

(i) rank(votimesell)=1.
(ii) (votimesell)ij=vi,ellj.
(iii) tr(votimesell)=ell(v).
(iv) Se ell(v)neq0, votimesell tem autovalores ell(v) (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade d-1) e é diagonalizável na base vcup(base de kerell), com matriz diag(ell(v),0,dots,0).
(v) Para qualquer Tin L(V;V) com matriz (aij),
T=sumi,j=1^d aij,eiotimes d xj,
logo eiotimes d xj é um sistema gerador de L(V;V).

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