Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{3+\frac{2}{x-2}}{1+\frac{4}{x-2}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • A expressão a simplificar é \dfrac{3+\dfrac{2}{x-2}}{1+\dfrac{4}{x-2}}.
  • O enunciado diz para considerar que todos os denominadores são diferentes de zero. Portanto, já temos a restrição óbvia \,x\neq 2, pois aparece \,x-2 no denominador das frações internas.
  • Pedido: escrever a expressão numa forma algébrica mais simples, usando fatoração, propriedades de frações e operações com polinômios.

Passo 2

Transformar a parte superior (o numerador da grande fração) em uma única fração. Regra usada: para somar um número com uma fração, coloca-se o número sobre o mesmo denominador e soma-se os numeradores.
Escrevendo
3+\frac{2}{x-2}=\frac{3(x-2)}{x-2}+\frac{2}{x-2}=\frac{3(x-2)+2}{x-2}.
Agora desenvolvendo a multiplicação e somando termos:
3(x-2)+2=3x-6+2=3x-4,
logo o numerador fica
\frac{3+\dfrac{2}{x-2}}{\,}=\frac{3x-4}{x-2}.

Passo 3

Fazer o mesmo para a parte inferior (o denominador da grande fração). Mesma ideia: escrever 1 sobre o denominador comum x-2 e somar.
1+\frac{4}{x-2}=\frac{1(x-2)}{x-2}+\frac{4}{x-2}=\frac{x-2+4}{x-2}.
Calculando x-2+4=x+2, obtemos
1+\frac{4}{x-2}=\frac{x+2}{x-2}.

Passo 4

Agora temos a grande fração como quociente de duas frações:
\frac{\dfrac{3x-4}{x-2}}{\dfrac{x+2}{x-2}}.
Regra usada: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso (recíproco). Ou, de forma imediata, se duas frações têm o mesmo denominador não-nulo, o denominador comum cancela:
\frac{\dfrac{A}{C}}{\dfrac{B}{C}}=\frac{A}{B}\quad\text{desde que }C\neq 0.
Aplicando isso com A=3x-4, B=x+2, C=x-2 (e lembrando que x-2\neq 0 por hipótese),
\frac{\dfrac{3x-4}{x-2}}{\dfrac{x+2}{x-2}}=\frac{3x-4}{x+2}.
Observação sobre domínio: além de x\neq 2 (para que as frações internas existam), é preciso garantir que o denominador final não seja zero, isto é x+2\neq 0. Portanto também devemos excluir x=-2. Assim a simplificação só é equivalente à expressão original quando x\neq 2 e x\neq -2.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): escolher x=3 (que respeita as restrições). Calcular a expressão original:
\text{num} = 3+\frac{2}{3-2}=3+2=5,\qquad \text{den} = 1+\frac{4}{3-2}=1+4=5,
logo o valor é \dfrac{5}{5}=1. Na forma simplificada:
\frac{3x-4}{x+2}\bigg|_{x=3}=\frac{9-4}{3+2}=\frac{5}{5}=1.
Confere.

Resposta

\displaystyle \frac{3x-4}{x+2} com x\neq 2,\\\ -2

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