Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado pede e quais são os dados. A expressão a simplificar é
O enunciado diz para considerar que todos os denominadores são diferentes de zero. Assim, devemos ter inicialmente
(Se durante a simplificação aparecer outro denominador que possa ser zero, vamos anotar também.)
O que precisa ser feito: simplificar essa expressão algébrica usando operações com frações, fatorações e propriedades algébricas, passo a passo.
Passo 2
Primeiro simplificamos o numerador isoladamente:
Estratégia: escrever
com denominador comum
, ou seja
. Então
Como as frações têm o mesmo denominador, subtrai-se os numeradores:
Agora desenvolve o numerador com cuidado:
Fatorando
obtemos
Portanto o numerador completo ficou
Passo 3
Agora simplificamos o denominador da grande fração:
Escrevemos
com denominador
:
. Então
Como têm mesmo denominador:
Desenvolvendo o numerador:
Fatorando
:
Assim o denominador da expressão original virou
Ao aparecer
no denominador simplificado, devemos anotar também que
para que essa parte não seja zero. Então, juntando restrições:
Passo 4
Agora substituímos os resultados das simplificações do numerador e do denominador na expressão original:
Propriedade básica de frações: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso. Ou seja
Aplicando aqui:
Passo 5
Agora fazemos cancelamentos e simplificações aritméticas. Repare que há um fator numérico
no numerador e
no denominador; podemos simplificar
dividindo ambos por
:
Logo a expressão fica
Multiplicando numeradores e denominadores:
Podemos também escrever
, obtendo a forma alternativa
ou ainda usar
para escrever
Todas essas formas são equivalentes; a forma com fatores lineares costuma ser mais clara para verificar cancelamentos (aqui não há cancelamento adicional).
Lembrando as restrições encontradas:
.