Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{1-\frac{3 x+1}{x+3}}{\frac{7 x-5}{x+1}-3}

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado pede e quais são os dados. A expressão a simplificar é
\frac{1-\frac{3x+1}{x+3}}{\frac{7x-5}{x+1}-3}.
O enunciado diz para considerar que todos os denominadores são diferentes de zero. Assim, devemos ter inicialmente
x \neq -3,\qquad x \neq -1.
(Se durante a simplificação aparecer outro denominador que possa ser zero, vamos anotar também.)
O que precisa ser feito: simplificar essa expressão algébrica usando operações com frações, fatorações e propriedades algébricas, passo a passo.

Passo 2

Primeiro simplificamos o numerador isoladamente:
1-\frac{3x+1}{x+3}.
Estratégia: escrever 1 com denominador comum x+3, ou seja 1=\dfrac{x+3}{x+3}. Então
1-\frac{3x+1}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}-\frac{3x+1}{x+3}.
Como as frações têm o mesmo denominador, subtrai-se os numeradores:
\frac{x+3-(3x+1)}{x+3}.
Agora desenvolve o nume­rador com cuidado:
x+3-(3x+1)=x+3-3x-1=-2x+2.
Fatorando -2x+2 obtemos
-2x+2=-2(x-1)=2(1-x).
Portanto o numerador completo ficou
1-\frac{3x+1}{x+3}=\frac{2(1-x)}{x+3}.

Passo 3

Agora simplificamos o denominador da grande fração:
\frac{7x-5}{x+1}-3.
Escrevemos 3 com denominador x+1: 3=\dfrac{3(x+1)}{x+1}. Então
\frac{7x-5}{x+1}-3=\frac{7x-5}{x+1}-\frac{3(x+1)}{x+1}.
Como têm mesmo denominador:
\frac{7x-5-3(x+1)}{x+1}.
Desenvolvendo o numerador:
7x-5-3(x+1)=7x-5-3x-3=4x-8.
Fatorando 4x-8:
4x-8=4(x-2).
Assim o denominador da expressão original virou
\frac{7x-5}{x+1}-3=\frac{4(x-2)}{x+1}.
Ao aparecer x-2 no denominador simplificado, devemos anotar também que x\neq 2 para que essa parte não seja zero. Então, juntando restrições:
x\neq -3,\quad x\neq -1,\quad x\neq 2.

Passo 4

Agora substituímos os resultados das simplificações do numerador e do denominador na expressão original:
\frac{\dfrac{2(1-x)}{x+3}}{\dfrac{4(x-2)}{x+1}}.
Propriedade básica de frações: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso. Ou seja
\frac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}.
Aplicando aqui:
\frac{2(1-x)}{x+3}\cdot\frac{x+1}{4(x-2)}.

Passo 5

Agora fazemos cancelamentos e simplificações aritméticas. Repare que há um fator numérico 2 no numerador e 4 no denominador; podemos simplificar 2/4 dividindo ambos por 2:
\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Logo a expressão fica
\frac{1-x}{x+3}\cdot\frac{x+1}{2(x-2)}.
Multiplicando numeradores e denominadores:
\frac{(1-x)(x+1)}{2(x+3)(x-2)}.
Podemos também escrever 1-x=-(x-1), obtendo a forma alternativa
-\frac{(x-1)(x+1)}{2(x+3)(x-2)},
ou ainda usar x^2-1=(x-1)(x+1) para escrever
-\frac{x^2-1}{2(x+3)(x-2)}.
Todas essas formas são equivalentes; a forma com fatores lineares costuma ser mais clara para verificar cancelamentos (aqui não há cancelamento adicional).
Lembrando as restrições encontradas: x\neq -3,\;x\neq -1,\;x\neq 2.

Resposta

\displaystyle \frac{(1-x)(x+1)}{2(x+3)(x-2)}

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