Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(cc-1 & 0 0 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de matriz
e^tA
once
A = -1 & 0 [6pt] 0 & 1
O conteúdo da matéria é a definição de matriz exponencial via série de potências
e^tA = sumk=0^infty t^kk!A^k,
e vamos usar o fato de que A é diagonal, o que simplifica o cálculo de A^k.]

Passo 2

Como A é diagonal, para todo inteiro k>=0 vale
A^k = (-1)^k & 0 [4pt] 0 & 1^k = (-1)^k & 0 [4pt] 0 & 1
Substituindo na série de potências, obtemos
e^tA = sumk=0^infty t^kk! (-1)^k & 0 [4pt] 0 & 1 = sumk=0^infty (-1)^k t^kk! & 0 [10pt] 0 & sumk=0^infty t^kk! ]

Passo 3

Reconhecemos as séries usuais de exponencial:
sumk=0^infty (-1)^k t^kk! = e^-t, sumk=0^infty t^kk! = e^t
Logo a matriz exponencial fica
e^tA = e^-t & 0 [6pt] 0 & e^t ]

Resposta

e^tA = e^-t & 0 [6pt] 0 & e^t ]

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